§ 15. Понятие о множественной корреляции

До настоящего параграфа рассматривалась ^ реляционная связь между двумя признаками. Есл _т( исследуется связь между несколькими признакам > корреляцию называют множестеенной.

276

о простейшем слу-число признаков трем и связь меж- линейная:

Р

этом случае возни- задачи:

1) найти по данным аяблюдений выборочное ^равнение связи вида

е. требуется найти коэффициенты регрес-_СЙИ А и В и параметр С;

2. оценить тесноту связи между Z и обо­ ими признаками X, У;

3. оценить тесноту связи между Z и X (при постоянном К), между Z и У (при по­ стоянном X).

Первая задача ре­шается методом наи­меньших квадратов, причем вместо уравне­ния (*) удобнее искать Уравнение связи вида

А {х—х) (У-У),

где

■z ^ryz^rxy ^az 1 — t\_u a.

^l~^rxy a_v

Ы
CO			CO	о	CO
a			r—		o>
к	is*		oo		CO
к	с4		<N		•>*
га
(-1	•v		,30		,30
			244	00	, 373
	V		8	R
	is/	00
	с		<M tM	CD	3
			<N	CD	00
	u		CO	CO	O5
		со	9	00	•4*
			со Ol	s	00
		00	со	1С
			■*		CO
	\		со o>	CO о	s
		00	en CO	<N	g
			со	oo
		ao	%	о
			CO
	я		t~	Ю	1
		CO	Cf?		1
		00	3	o>	s
	H	-	1,1	**.

277

Здесь r_xz, r_yz, r_xy —коэффициенты корреляции _Со_От ветственно между признаками X и Z, У и Z, X к у. а_х, а_у, а_г—средние квадратические отклонения. '

Теснота связи признака Z с признаками X, У оценр, вается выборочным совокупным коэффициентом корреляции

_V'-

_R -w г_хг-2г_л

1 —

причем O^R^ 1.

Теснота связи между Z и X (при постоянном Y) между Z и У (при постоянном X) оценивается соответ­ственно частными выборочными коэффициентами корре. ляции:

__ ^rxz ^rxy^ryz

^Гхг (у) -

^T

yz ix) —

V(l-rly)(l-r_xz) '

Эти коэффициенты имеют те же свойства и тот же смысл, что и обыкновенный выборочный коэффициент корреляции, т. е. служат для оценки линейной связи между признаками.

Задачи

В задачах 1—2 даны корреляционные табл. 21 и 22. а) г_в; б) выборочные уравнения прямых регрессии; в) г\_ух и г\ху Отв. к задаче 1. а) 0,636; б) </*= 1,17 х+ 16,78, J_y = 0,345 + 1,67; в) 11^=0,656, ri_X!/=O,651.

278

Таблица 21

f>
V	5	10	15	20	%	'у
10	2	—	—	—	2	5
20	5	4	1	—	10	8
30	3	8	6	3	20	12,25
40	—	3	6	6	15	16
50	—	—	2	1	3	16,67
пх	10	15	15	10	л = 50
. -■■ — Ух	21	29,33	36	38

Таблица 22

Y	А
	65	95	125	155	185	215	пу	'у
30	5	—"	—	—	—	—	5	65
40 50	4 12		—	—	—	—	16	87,5
	—	8	5	4	—	—	17	101,18
60 70 пх	—	1	5	7	2	—	15	145
	—	—	—	—	1	1	2	200
	9 ■ — 34,44	21	10	11	3	1	п = 55
		44,76	55	56,36	63,33	70

97Q

Отв. к задаче 2. а) 0,825; б) ^ = 0, ~27,25; в) t)_v* = 0,859 0875

= 2,92

3.

В задачах 3—4 найти выборочные уравнения регрессии Z ■ Ах²-{-Вх + С по данным корреляционных табл. 23 и 24. *

Таблица

23

У			X	--
	2	3	5	пу
25	20 .	—	—	20
45	—	30	1	31
ПО	—	1	48	49
пх	20	31	49	п=100

Отв. {/^ = 2,94 х^а + 7,27 х—1,25.

4.

Таблица 24

У	X
	1	2	пу
2	30	1	31
6	1	18	19
	31	19	п = 50

Отв. у* = 0,

—0,75.

2ЯП

Глава девятнадцатая

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ