§13. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры

В предыдущем параграфе установлено: при ц — О признаки не связаны корреляционной зависимостью; при т)=1 имеет место функциональная зависимость.

Убедимся, что с возрастанием ц корреляционная связь становится более тесной. С этой целью преобразуем соот­ношение О_общ = £>_8нгр + 1>_межгр так:

^внгр ⁼ *Л>бщ L * ИЛИ

Г) Г) /1

'-'внгр ^х^общ\¹

Если г\ —>-1, то D_mirp —►О, следовательно, стремится к нулю и каждая из групповых дисперсий. Другими словами, при возрастании -п. значения Y, соответствующие опреде­ленному значению X, все меньше различаются между собой и связь Y с X становится более тесной, переходя в функциональную при г|=1.

Поскольку в рассуждениях не делалось никаких до­пущений о форме корреляционной связи, т] служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной, формы. В этом состоит преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом корреляции, который оценивает тесноту лишь линейной зависимости. Вместе с тем кор­реляционное отношение обладает недостатком: оно не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой опре­деленного вида, например к параболе, гиперболе и т. Д-Это объясняется тем, что при определении корреляцион­ного отношения форма связи во внимание не принималась.

274

§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции

Если график регрессии y_x = f(x) или x_y = q>(y) _зОбражается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной.

Например, функции регрессии Y на X могут иметь

у_х (параболическая корреляция второго

порядка);

y_x = ax³-\-bx²-\-cx-\-d (параболическая корреляция третьего порядка).

Для определения вида функции регрессии строят точки

(х; #*) ^{и по их} расположению делают заключение о при­мерном виде функции регрессии; при окончательном ре­шении принимают во внимание особенности, вытекающие _йз сущности решаемой задачи.

Теория криволинейной корреляции решает те же за­дачи, что и теория линейной корреляции (установление формы и тесноты корреляционной связи). Неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом наимень­ших квадратов. Для оценки тесноты криволинейной кор­реляции служат выборочные корреляционные отношения (см. § 11).

Чтобы выяснить суть дела, ограничимся параболиче­ской корреляцией второго порядка, предположив, что данные п наблюдений (выборки) позволяют считать, что имеет место именно такая корреляция. В этом случае выборочное уравнение регрессии Y на X имеет вид

^гДе А, В, С—неизвестные параметры.

Пользуясь методом наименьших квадратов, получают ^систему линейных уравнений относительно неизвестных Параметров (вывод опущен, поскольку он не содержит ^Кчего нового сравнительно с § 4):

П_ХХ) С = 2 ПхУх*' \ (**)

А + (2 п_ах) В + пС - 2 п_ху_х. J

из этой системы параметры А, В, С подстав- ^в (*); в итоге получают искомое уравнение регрессии.

275

Пример. Найти выборочное уравнение регрессии К на У у_х=Ах²-\-Вх + С по данным корреляционной табл. 19.

Таблиц

19

Y	х —-~^_
	I	1.1	1,2	%
6	8	2	—	10
7	—	30	—	30
7,5	—	1	9	10
пх	8	33	9	п = 50
"Ух	6	6,73	7,5

Составим расчетную табл. 20. Подставив числа (суммы) нижней строки табл. 20 в (**), получим систему

= 413,93, ^ : = 373,30, } 7 = 337,59. j

74,98 Л+67,48 В+ 60,89 С = 413,93,

67,48 Л+60,89 В + 55,10 С-

60,89 Л+ 55,10 В + 50 С-

Решив эту систему, найдем: Л = 1,94, В =2,98, С =1,10. Напишем искомое уравнение регрессии:

Легко убедиться, что условные средние, вычисленные по этому уравнению, незначительно отличаются от условных средних к°РР ляционной таблицы. Например, при ^ = 1 найдем: по таблице i/i^ ' по уравнению ^ = 1,94+2,98+1,10=6,02. Таким образом, найдек«<* уравнение хорошо согласуется с данными наблюдений (выборки;-