§ 11. Выборочное корреляционное отношение

Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелиней­ной корреляционной связи вводят новые сводные ха­рактеристики:

г\_ух—выборочное корреляционное отношение Y к -*• г\_ху—выборочное корреляционное\ отношение Хк'¹

Выборочным корреляционным отношением Y к X #^а зывают отношение межгруппового среднего квадратй^ ского отклонения к общему среднему квадратическо^м*

270

уклонению признака Y:

в других обозначениях

где ^п—объем выборки (сумма всех частот); п_х—частота значения х признака X; п_у—частота значения у признака у, у—общая средняя признака Y; у_х—условная средняя признака У,

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение X к Ух

Пример. Найти х\_ух по данным корреляционной табл. 18.

Таблица 18

у	X
	10	20	30	"У
15	4	28	6	38
25	6	—	6	12
пх	10	28	12	л = 50
Ух	21	15	20

Решение. Найдем общую среднюю:

У = (2jn_yy)/n = (38-15+12.25)/50=П А. "^айдем общее среднее квадратическое отклонение:

1 (15,- 17,4)²+12 (25-17,4)²]/50=4,27.

271

Найдем межгрупповое среднее квадратическое отклонение:

У _Х »х Су* - У)*]/п = . '

= VIЮ (21 —17,4)2 + 28 (15— 17,4)a-f-12 ₍₂0 —17,4)²]/50 = 2,73. Искомое корреляционное отношение

= <* - / 5_V = 2,73/4,27 = 0,64.

§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения

Поскольку t]_Xy обладает теми же свойствами, что и г\_ух, перечислим свойства только выборочного корр_е. ляционного отношения г\_ух, которое далее для упрощения записи будем обозначать через ц и для простоты речи называть «корреляционным отношением».

Свойство 1. Корреляционное отношение удовлетво­ряет двойному неравенству

Доказательство. Неравенство t]^0 следует из того, что т] есть отношение неотрицательных чисел — средних квадратических отклонений (межгруппового к общему).

Для доказательства неравенства т) <11 воспользуемся формулой

общ ⁼⁼ -^внгр ~Г ^-'межгр-

Разделив обе части равенства на D_o6ui, получим

ИЛИ

Так как оба слагаемых неотрицательны и сумма их равна единице, то каждое из них не превышает единицы; в част­ности, т)²^ 1. Приняв во внимание, что ц^О, заключаем:

Свойство 2. Если г\ = 0, то признак Y с призна­ком X корреляционной зависимость^ не связан. Доказательство. По условию,

Л = ^амежгр/^аобщ = 0.

Отсюда о-„ежгр = 0 и, следовательно, D_KeyKTp = 0.

272

ДОежгрупповая дисперсия есть дисперсия условных повых) средних у_х относительно общей средней у. нулю межгрупповой дисперсии означает, что всех значениях X условные средние сохраняют по- ^_О значение (равное общей средней). Иными словами,

р_И т] = 0 условная средняя не является функцией от X, значит, признак Y не связан корреляционной зависи­мостью с признаком X.

Замечание 1. Можно доказать и обратное предложение: если признак Y не связан с признаком X корреляционной зависимостью,

Свойство 3. Если г\ — 1, то признак Y связан с при-знаком X функциональной зависимостью.

Доказательство. По условию, Отсюда Возведя обе части равенства в квадрат, получим

■^общ ⁼ ^Ляежгр* (*)

Так как D_o6ut = D_BHrp + £_межгр, то в силу (*)

0. (**)

Поскольку внутригрупповая дисперсия есть средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объ­емам групп), то из (**) следует, что дисперсия каждой ^группы (значений У, соответствующих определенному значению X) равна нулю. А это означает, что в группе ^Держатся равные значения Y, т. е. каждому значению * соответствует одно значение У. Следовательно, при ^l признак У связан с признаком X функциональной ^Зависимостью.

Замечание 2. Можно доказать и обратное предположение: ли признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью,

Приведем еще два свойства, опустив доказательства. Свойство 4. Выборочное корреляционное отношение

273

не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: \\~^ \ г_в |.

Свойство 5. Если выборочное корреляционное отно­шение равно абсолютной величине выборочного коэффи­циента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

Другими словами, если х\ — | г_в |, то точки {х_х\ у_г), (х_г\ у₂), ..., (х_п; у„) лежат на прямой линии регрессии, найденной способом наименьших квадратов.