§ 7. Выборочный коэффициент корреляции

Как следует из предыдущего параграфа, выбо­рочный коэффициент корреляции определяется равенством

n a_xa_v

где х, у—варианты (наблюдавшиеся значения) признаков X и Y; п_ху—частота пары вариант (лг, у); п—объем выборки (сумма всех частот); а_х, а_у—выборочные средние квадратические отклонения; х, у—выборочные средние.

Известно, что если величины Y и X независимы, то коэффициент корреляции г=0 (см. гл. XIV, § 17); если /=±1,то Y и X связаны линейной функциональной зависимостью (см. гл. XIV, § 20). Отсюда следует, что коэффициент корреляции г измеряет силу (тесноту) л и-^нейной связи между Y и X.

Выборочный коэффициент корреляции г_в является ⁰¹*енкой коэффициента корреляции г генеральной сово-^кУпности и поэтому также служит для измерения линей-^н°й связи между величинами—количественными призна­ками У и X. Допустим, что выборочный коэффициент ^°Рреляции, найденный по выборке, оказался отличным _^ нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда *4e нельзя заключить, что коэффициент корреляции ге-^еРальной совокупности также отличен от нуля. Возни-/^ает необходимость проверить гипотезу о значимости УЩественности) выборочного коэффициента корреляции

261

(или, что то же, о равенстве нулю коэффициента корр_е. ляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равен, стве нулю генерального коэффициента корреляции буд_ет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции зна-чим, а величины X п Y коррелированы; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции незна-чим, а величины X и Y не коррелированы.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэф. фициента корреляции для случая нормальной корреляции изложена далее (см. гл. XIX, § 21).

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репре-зентативна), то заключение о тесноте линейной зависимо­сти между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность. Например, для оценки коэф­фициента корреляции г_Г нормально распределенной гене­ральной совокупности (при п ^50) можно воспользо­ваться формулой

З амечание 1. Знак выборочного коэффициента корреляции совпадает со знаком выборочных коэффициентов регрессии,, что сле­дует из формул (см. § 6):

Замечание 2. Выборочный коэффициент корреляции равен среднему геометрическому выборочных коэффициентов регрессии Действительно, перемножив левые и правые части равенств (♦), получим

Отсюда

Знак при радикале в соответствии с замечанием 1 должен совпадать со знаком коэффициентов регрессии.

§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется по данным] корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляций' Можно значительно упростить расчет, если перейти ^

262

ровным вариантам (при этом величина г_в не изменится) У u_l — {x_t — C^)lh_x и Vj = (yj — C₂)/h₂.

о этом случае выборочный коэффициент корреляции вы­деляют по формуле

^гв = (S ti_avuv — nuv)/{no_ua_v).

Величины и, v, о_а и a_v можно найти методом произпе-пений (см. гл. XVII, § 4), а при малом числе данных — непосредственно исходя из определений этих величин. Остается указать способ вычисления ^n^uv, где n_av — частота пары условных вариант (и, v).

Можно доказать, что справедливы формулы (см. пояс­нение в конце параграфа):

Для контроля целесообразно выполнить расчеты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.

Покажем на примере, как пользоваться приведенными формулами.

Пример 1. Вычислить ^j n_avuv по данным корреляционной табл. 14.

Таблица 14

У	X						п У
	10	20	30	40	50	60
15	5	7	—	—	—	—	12
25	—	20	23	—	—	—	43
35	—	—	30	47	2	—	79
45	—	—	10	11	20	6	47
55	—	—	—	9	7	3	19
пх	5	27	63	67	29	9	п = 200

263

Решение. Перейдем к условным вариантам: и/ = (д:,- — Ci)/h_t ^ = {Х(—40)/10 (в качестве ложного нуля С_г взята варианта * = 4(Г расположенная примерно в середине вариационного ряда; шаг ^ равен разности между двумя соседними вариантами: 20—10 = 10) Ь Vj = (yj — C₂)/h₂ = (y/ — 35i)/l0 (в качестве ложного нуля С_г взят» варианта «/ = 35, расположенная в середине вариационного ряд_а. шаг /г, равен разности между двумя соседними вариантами-25 — 15=10).

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах. Пр_ак. тически это делают так: в первом столбце вместо ложного нуля с"

(варианты 35) пишут 0; над нулем последовательно записывают \^г

•—2; под нулем пишут 1, 2. В первой строке вместо ложного Куля с' (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записываю-} — 1, —2, —3; справа от нуля пишут 1, 2. Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной таблицы. В итоге получим корреляционную табл. 15 в условных вариантах.

Таблица 15

V			и
	-3	-2	-. | 0		1	2
—2	5	7	—	—	—	—	12
— 1	—	20	23	—	—	—	43
.0	—	—	30	47	2	—	79
1	—	—	10	11	20	6	47
2	—	—	—	9	7	3	19
па	5 "	27	63	67	29	9	n = 200

Теперь для вычисления искомой суммы X n_avwo составим рас­четную табл. 16. Пояснения к составлению табл. 16:

1. В каждой клетке, в которой частота n_av Ф 0, записывают в правом верхнем углу произведение частоты n_uv на варианту и. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 5-(—3)=—15; 7-(—2) = —14.

2. Складывают все числа, помещенньГе в правых верхних углах клеток одной строки и их сумму записывают в клетку этой же строки столбца 0. Например, для первой строки U=—15+(—14)=—29*

3. Умножают варианту v на U и полученное произведение заци- сывают в последнюю клетку той же строки, т. е. в клетку столби^а v(J. Например, в первой строке таблицы v = —2 U = — 29; след⁰" вательно, vU=(—2)-(—29) = 58.

4. Наконец, сложив все числа столбпМ\г>и, получают сумму ^j vU, которая равна искомой сумме s] n,,,,uv. Например, для табл-

имеем 2а vU — 169; следовательно, искомая сумма 7, п„му= 169.

V

264 л

I •					1									i vV
	—3	—2	-i			0			l			2
—2	j—15	|—14	—										—29	58
	5	7 -=I4|				—			—			—
— 1	—	j—40		—23									—63	63
		20	23			—			—			—
		—20	—23|
0	—	-.		—30			0		|	2			| —28	0
			30			47			2
			о 1		0	|		0	1				1
1		—		— 10		|	0		|	20		1 12	22	22
	—		10			11			20			6
			10 |		11	|		20	|		6	1
2		—	-				0		|	7		1 6	13	26
						9			7			3
					18	1		14	1		6	1
	—10	—34	—13		29			1 34			12			2 at/= 169 0
uV	30	68	13		0			34			24		u	■*-Контроль|

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбца^,, произведения n_avv записывают в левый нижний угол клетки, соде*' ж а щей частоту n_av Ф 0; все числа, помещенные в левых нижний углах клеток одного столбца, складывают и их сумму записывав» в строку V; далее умножают каждую варианту и на V и результат записывают в клетках последней строки.

Наконец, сложив все числа последней строки, получают

2 ^UV, которая также равна искомой сумме 2 n_avuv. Например, _я и

табл. 16 имеем 2 ^и^== '69; следовательно. ,^т] n,,₇,uv-= 169. и

Теперь, когда мы научились вычислять ^n_avuv, при-ведем пример на отыскание выборочного коэффициента корреляции.

Пример 2. Вычислить выборочный коэффициент корреляции '"в^я=(2^пиг'"^у—(iuv)/(na_aa_v) поданным корреляционной табл. 14.

Решение. Перейдя к условным вариантам, получим корреля­ционную табл. 15. Величины и, ~Ъ, о„ и o_v можно вычислить методом произведений; однако, поскольку числа ы,-, О/ малы, вычислим и h~v, исходя из определения средней, а о_и и о„ — используя формулы (см, гл. XVI, § 10)

Найдем и и v:

-2]/200 = — 0,425; v = (2 n_vv)/n = [ 12 • (—2) + 43 • (— I) + 47 • 1 + 19 • 2]/200 = 0,09. Вычислим вспомогательную величину и², а затем о_а:

1 + 29.1+9.4)/200= 1,405;

Ъ_а = Км² — (ы)² = >^Т,405 —(0.425)² = 1,106.

Аналогично получим а_в= 1,209.

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции, учитывая,

что ранее уже вычислена сумма ^j n,,,,uv= 169:

r_B= (2 ⁿav^uv— nuv)/(na_uo_v) = = [169 —200-(—0,425)-0,09]/(200-1^106-1,209) = 0,603.

Итак, л_в = 0,603. 1

Пояснение. Покажем, что 2 ⁿuv^uv = 2 ^у^ > ^где ^ — i ^rt«»

Рассмотрим корреляционную таблицу в условных вариантах (для стоты таблица содержит мало данных):

V	и
		«1
«I	nUxVx		nU3Vl
			na3v3

Найдем 2 n_avuv двумя способами: суммируя произведения частот И v на произведения соответствующих условных вариант uv по строкам и"по столбцам. Для первой строки таблицы

Для второй строки таблицы Сложим (*) и (**)

2

(**)

=v₂ 2] "и

и

= f l 2 ⁿu

Итак,

_w о

где U =

Аналогично, суммируя произведения частот n_av на произведения соответствующих условных вариант uv no столбцам, получим

где V =