§ 5. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же рачение х может встретиться п_х раз, одно и то же зна­чение у—п_у раз, одна и та же пара чисел (х, у) может ^аблюдаться п_ху раз. Поэтому данные наблюдений груп-ируют, т. е. подсчитывают частоты п_х, п_у, п_ху. Все РУппированные данные записывают в виде таблицы, ^ТоРУю называют корреляционной.

257

Поясним устройство корреляционной таблицы на пп мере табл. 13. ^Ри-

Таблиц_а

Y	х ^-
	10	20	30	40	пу
0,4	5		7	14	26
0,6	—	2	6	4	12
0,8	3	19		■	22
	8	21	13	18	л = 60

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые зна­чения (10; 20; 30; 40) признака X, а в первом столбце-. наблюдаемые значения (0,4; 0,6; 0,8) признака Y. На пе­ресечении строк и столбцов находятся частоты п_ху наблю­даемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0,4) наблюдалась 5 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны кото­рого проведены жирными отрезками. Черточка означает, что соответственная пара чисел, например (20; 0,4), не наблюдалась.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки «жирного» прямо­угольника равна п_у = 5 + 7+14 = 26; это число указы­вает, что значение признака Y, равное 0,4 (в сочетаний с различными значениями признака К), наблюдалось 26 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение признака X, равное 10 (в сочетании с различными значениями при­знака Y), наблюдалось 8 раз.

В клетке, расположенной в нижнем правом таблицы, помещена сумма всех частот (общее число наблюдений п). Очевидно, ^п_х = ^п_у = п. В нашем пр^й' мере

= 60 и

258

§ в. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным

В § 4 для определения параметров уравнения

«ямой линии регрессии Y на X была получена система

уравнений

2 22 \

I

Предполагалось, что значения X и соответствующие _и>1 значения Y наблюдались по одному разу. Теперь же допустим, что получено большое число данных (практи­чески для удовлетворительной оценки искомых парамет­ров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреля­ционной таблицы. Запишем систему (*) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Восполь­зуемся тождествами:

^х = пх (следствие из ~х = 2х/п); ^у^пу (следствие из у = 2 х² = пх² (следствие из х² =

Уи^хУ ⁼²2^/г*у ^ХУ (У^чтен°. ^что пара чисел (х, у) наблюда­лась п_ху раз).

Подставив правые части тождеств в систему (*) и со­кратив обе части второго уравнения на п, получим

₁ ^

(x)_PyX+b=y.

Решив эту систему, найдем параметры р_ух иди, следо­вательно, искомое уравнение

Однако более целесообразно, введя новую величину — ^вЫборочный коэффициент корреляции, написать уравне-^Ние регрессии в ином виде. Сделаем это. Найдем b из ^6т°рого уравнения (**•):

259

Подставив правую часть этого равенства в уравнение Ух — 9_ух х + Ь, получим

Ух—У — Р_ух (x—lc). (***)

Найдем *> из системы (*) коэффициент регрессии, учи-тывая, что ** — (x)* = al (см. гл. XVI, § 10):

У множим обе части равенства на. дробь о_х/а_у\

р_ух-^= ~—=^= . (**##)

" Оу па_ха_у '

Обозначим правую часть равенства через г_в и назовем ее выборочным коэффициентом корреляции (см. замечание 3):

п а_хо_у Подставим r_e в (****):

Отсюда

Рух^=аГв=--

Подставив правую часть этого равенства в (***), оконча­тельно получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

^ва_х

Замечание 1. Аналогично находят выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y вида

х~_у—~х = г₃^а~(у— у), ^a

где

* > В этой- главе выборочное среднее квЦдратическое отклонение обозначено через а; например, о_х — выборочное) среднее квадратиче-ское отклонение X.

260

Замечание 2. Уравнения выборочных прямых регрессии ₀ записать в более симметричной форме:

Ух — У_ Х—Х Ху — Х у —у

*• — '"в """^ » — ^=ж ''в — • о_у а_х а_х о_у

Замечание 3. Выборочный коэффициент корреляции является _нКОй коэффициента корреляции

°" _г= Vxv ₌₌M(XY)-M(X).M(Y)

О_хО_у О_хОу

Действительно, используя метод моментов (см. гл. XVI, § 21), _е, заменив числовые характеристики их оценками, получим

_ [(]£ п_хуху)/п\ — ху 2] п_хуху — пху о_хо_у па_ха_у