§ 4. Отыскание параметров выборочного уравнения Прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных приз-_аКов (X, Y). В результате п независимых опытов полу-!_ены п пар чисел (х_и у_г), (*, y_t), .... (х„, у_п).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии (см. гл. XIV, s^O). Д^ля определенности будем искать уравнение

у_х — kx + Ъ

регрессии Y на X.

Поскольку различные значения х признака X и соот­ветствующие им значения у признака Y наблюдались _по одному разу, то группировать данные нет необходи­мости. Также нет надобности использовать понятие услов­ной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

Угловой коэффициент прямой линии регрессии К на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через р_ух; он является оценкой коэффици­ента регрессии (3 (см. гл. XIV, § 20).

Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

Подберем параметры р_уХ и b так, чтобы точки i^xv У г) (х_а; у_г), .. -, (х_п; у_п), построенные по данным наб­людений, на плоскости хОу лежали как можно ближе ^к прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность

Y_i—y_l (t=l, 2, ...,n),

^гДе у\ — вычисленная по уравнению (*) ордината, соответ-^Ствующая наблюдаемому значению х,-; y_t — наблюдаемая °РДината, соответствующая х_{.

Подберем параметры р_ух и b так, чтобы сумма квад-

РЭтов отклонений была минимальной (в этом состоит

Щность метода наименьших квадратов). Так как каж-

_и°^е отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то

^сУмма квадратов отклонений есть функция F этих

255

параметров (временно вместо р_ух будем писать р):

F(p, Ъ)= 2 (Yi — У,)²' или

п

F(p,b)= V

Для отыскания минимума приравняем нулю соответству. ющие частные производные:

Выполнив элементарные преобразования, получим си-стему двух линейных уравнений относительно р и Ь*>_:

(S^je')p+(S^JC)⁶=S^JC^ (2*)р+^п&==2#- (**)

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Аналогично можно найти выборочное уравнение пря­мой линии регрессии X на Y:

где р_ху—выборочный коэффициент регрессии X на Y.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным п = 5 наблюдений:

х 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00 у 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25

Решение. Составим расчетную табл. 11. ₀

Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные таблице суммы в соотношения (***):

Р_ху = (5 -26,975—15-8,15)/(5- 57,5—15²) = 0,202; Ь = (57,5.8,15—15-26,975)/62,5= 1,024.

• > Для простоты записи вместо 2 условймсях писать 2 ■

256

Таблица 11

1,00 1,50 3,00 4,50 5,00	1,25 1,40 1,50 1,75 2,25	1,00 2,25 9,00 20,25 25,00	1,250 2,100 4,500 7,875 11,250
	2 «/,= 8,15	2>«? = 57,50	2*^=26,975

Напишем искомое уравнение регрессии:

Y =0,202x+l,024.

Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вы­численные по этому уравнению значения К,- согласуются с наблюдае­мыми значениями у„ найдем отклонения F/ — у,-. Результаты вычис­лений приведены в табл. 12.

Таблица 12

xi	Y.
1,00	1,226	1,25	—0,024
1,50	1,327	1,40	—0,073
3,00	1,630	1,50	0,130
4,50	1,933	1,75	0,183
5,00	2,034	2,25	—0,216

Как видно из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это •объясняется малым числом наблюдений.