§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Во многих задачах требуется установить и оце-

_ть зависимость изучаемой случайной величины У от

ной или нескольких других величин. Рассмотрим сначала

ависимость У от одной случайной (или неслучайной)

³ _лИЧины X, а затем от нескольких величин (см. § 15).

^в Две случайные величины могут быть связаны либо

(функциональной зависимостью (см. гл. XII, § 10), либо

зависимостью другого рода, называемой статистической,

_либо быть независимыми.

Строгая функциональная зависимость реализуется ред­ко, так как обе величины или одна из них подвержены еще действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин (под «общими» здесь подразумеваются такие факторы, которые воздействуют и на V и на X). В этом случае возникает статистическая зависимость.

Например, если Y зависит от случайных факторов Z_u Zi, У к V»> ^а X зависит от случайных факторов Z_lt Z₂, U_u то между Y и X имеется статистическая зависимость, так как среди случайных факторов есть общие, а имен­но: Z_x и Z₂.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распреде­ления другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае ста­тистическую зависимость называют корреляционной.

Приведем пример случайной величины Y, которая не

^связана с величиной X функционально, а связана кор-

Р^еляционно. Пусть У—урожай зерна, X—количество

Удобрений. С одинаковых по площади участков земли

^Ри равных количествах внесенных удобрений снимают

{^личный урожай, т. е. Y не является функцией от X.

⁰ объясняется влиянием случайных факторов (осадки,

^мпература воздуха и др.). Вместе с тем, как показы-

с_т^{ет Оп}ыт, средний урожай является функцией от количе-

^₀ ^а Удобрений, т. е. Y связан с X корреляционной зависи-

253

§ 2. Условные средние

В качестве оценок условных математическ ожиданий (см. гл. XIV, § 15) принимают условные сп*¹ ние, которые находят по данным наблюдений (по выбору Условным средним у_х называют среднее арифмети ское наблюдавшихся значений Y, соответствующих X ^ Например, если при х_г — 2 величина Y приняла 3HaV ния y₁ = 5_f t/₂ = 6, (/₃=10, то условное среднее у = (5 + 6+10)/3 = 7. _ ^у*'*

Аналогично определяется условное среднее х

Условным средним х_у называют среднее арифметическ наблюдавшихся значений X, соответствующих Y = y, °^У

§ 3. Выборочные уравнения регрессии

В гл. XIV, § 15 были введены уравнения регпрг сии Y на X и X на Y: ^у

Условное математическое ожидание М (Y | х) является функцией от_д;, следовательно, его оценка, т. е. услов­ное среднее у_х, также функция от х; обозначив эту функ­цию через f*{x), получим уравнение

Это уравнение называют выборочным уравнением регрес­сии Y на X; функцию f*(x) называют выборочной регрес­сией Y на X, а ее график—выборочной линией регрес­сии Y на X. Аналогично уравнение

Ху = ф* (У)

называют выборочным уравнением регрессии X на F; функ цию ф* (у) называют выборочной регрессией X на Y, ^а ее график—выборочной линией регрессии X на Y.

Как найти по данным наблюдений параметры фун^к' ций /*(*) и ф*(г/), если вид их известен? Как оценить силу (тесноту) связи между величинами X и Y и устано вить, коррелированы ли эти величшад? Ответы на ^эТ1 вопросы изложены ниже. Л

254