§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным

Один из способов построения нормальной кривой _п0 данным наблюдений состоит в следующем:

1) находят х_в и о_в, например, по методу произведений;

2) находят ординаты у,- (выравнивающие частоты)

теоретической кривой по формуле у; = -^-- ф (",), где п — _сумма наблюдаемых частот, h — разность между двумя соседними^ вариантами: u_i = (x_i—х_в)/о_в и ф (и) = (//"2^)²/

3) строят точки (x_h y_t) в прямоугольной системе ко­ординат и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым под­тверждает правильность допущения о том, что обследуе­мый признак распределен нормально.

Пример. Построить нормальную кривую по данному распределе­нию:

варианты . . . x_t 15 20 25 30 35 40 45 50 55 частоты . . . щ 6 13 38 14 106 85 30 10 4 Решение. Пользуясь методом произведений (см. § 4), найдем *_в = 34,7, ст_в==7,38.

Вычислим выравнивающие частоты (табл. 9).

Таблица 9

*i		*Г*ъ		Ф («,-)	= 248 Ф (ы,)
			'" *в
15 20 25 30 35 40 45 50 55 ~~	6 13 38 74 106 85 30 10 4	-19,7 -14,7 -9,7 -4,7 0,3 5,3 10,3 15,3 20,3	—2,67 —1,99 -1,31 —0,63 0,05 0,73 1,41 2,09 2,77	0,0113 0,0551 0,1691 0,3271 0,3984 0,3056 0,1476 0,0449 0,0086	3 14 42 82 99 76 37 11 2
	п=366				2^ = 366

249

На рис. 22 построены нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (они отмечены кру^. ками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены

крестиками). Сравнение

^Yl графиков наглядно по-

шо

во

60

казывает, что построен-ная теоретическая кри-вая удовлетворительно отражает данные на­блюдений.

го

_{10 2Q}

_{30 iQ 50 Рис 22}

Для того чтобы бо­лее уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нор-л мальном распределении ^х« признака, пользуются специальными правила­ми (их называют кри­териями согласия), понятие о которых можно найти далее (см. гл. XIX, § 23).

§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Для оценки отклонения эмпирического распре­деления от нормального используют различные характе­ристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Смысл этих характеристик аналогичен смыслу асимметрии и эксцесса теоретического распределения (см. гл. XII, §9). Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

l

где т₃ — центральный эмпирический момент третьего порядка (см. § 2).

Эксцесс эмпирического распределения определяется ра­венством

e_k = mjol — 3,

где т₄—центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Моменты ш₃ и т₄ удобно вычислять методом произ­ведений (см. § 4), используя формулы (*р) § 3.

250

Пример. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распреде-

^Лепизнта 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 "астота 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

решение. Воспользуемся методом произведений, для чего со-явнм расчетную табл. 10. Поскольку в § 4 указано, как заполня­йся столбцы 1—5 таблицы, ограничимся краткими пояснениями: для ¹°полнення столбца 6 удобно перемножать числа каждой строки ^За<злбцов з и 5; для заполнения столбца 7 удобно перемножать числа ^ждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для контроля вычислений по тождеству:

2я/(и_/+1)⁴ = 2"'"* + ⁴2]"/и? + ⁶21"/««^? + ⁴2'¹/"/ + '¹-Контроль: 2^л|(^н! + ¹)⁴ = ⁹¹⁴¹''

2 я/ы* + 42 я/"? + 6 2^П<"? + 4 2 Я/И/ + п = ₌ 4079 + 4-609 + 6-383 +4-57+100 = 9141.

Таблица 10

1	2	3	4	5	6	7	8
ч	ni	"/	n-u.	ni«l	n.uf	«,«f	П, (И/+ 1)4
10,2	2	—4	—8	32	—128	512	162
10,4	3	—3	g	27	—81	243	48
10,6	8	2	— 16	32	—64	128	8
10,8	13	— 1	—13	13	— 13	13	—
11,0	25	0	—46		—286		25
11,2	20	1	20	20	20	20	320
11,4	12	2	24	48	96	192	972
11,6	10	3	30	90	270	810	2560
11,8	6	4	24	96	384	1536	3750
12,0	1	5	5	25	125	625	1296
			103		895
	/i = = 100		2 л/"/= =57	2 я/"?= =383	2 я/и?= = 609	2 я/"*= =4079	2п«(и/ + + 1)4=9141

251

Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведу правильно. **

В примере § 4 для рассматриваемого распределения было _На„ дено: уИ1 = 0,57; Л*2 = 3,83; D_b = 0,14, следовательно, о_в = Ko"f>

Найдем условные моменты третьего и четвертого порядка: ' *•

79

з = (2 п;и?)/п = 609/100 = 6,09; м\= (2 n,-u?)/n=4079/100 = 40,

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и того порядка:

т₃ = [М_а — Ш{м1 + ()] = [6,09 —3-0,57-3,83+ 2-(0,57)³].0,2³= —0,0007;

_mi=[Ml — 4MlMt + 6(Ml)² Ml — 3(Mi)⁴]ft⁴ = = [40,79—4-0,57-6,09 + 6 (0,57)².3,83 — 3-(0,57)⁴]-0,2* = 0,054.

Найдем асимметрию и эксцесс:

a_s = m₃/oi=( — 0,0007)/( /о7Т4)³== —0,01; e_k= mjol— 3 = (О,О54/(УоТТ4)* — 3= —0,24.

Замечание. В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относиться с осторожностью и определить точ­ность этих оценок (см.: Смирнов Н. В. иДунин-Барков-с к и й И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 277).

Задачи

В задачах 1 —2 даны выборочные варианты и их частоты. Найти, пользуясь методом произведений, выборочные среднюю и дисперсию.

Xi 10,3 10,5 10,7 10,9 11,1 11,3 11,5 11,7 11,9 12,1 /г,- 4 7 8 10 25 15 12 10 4 5

Отв. х_в= 11,19, D_B = 0,19.

2.

Xi 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 /г,- 6 7 12 15 30 10 8 6 4 2

0^6.^ = 90,72, D_B= 17,20. _яЯ

8. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распред^еле

Х{ 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 п_{ 5 10 17 30 20 Д2 6

Отв. a_s=^0,0006, e_k = 0,00004. 252

Глава восемнадцатая ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ