§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений дает удобный способ вычис­ления условных моментов различных порядков вариаци-о ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же

й

условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В част­ности, методом произведений удобно вычислять выбороч­ную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется

так:

1. в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастаю­ щем порядке;

2. во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки п) помещают в нижнюю клетку столбца;

3. в третий столбец записывают условные варианты u_i — (x_i — C)/h, причем в качестве ложного нуля С выби­ рают варианту, которая расположена примерно в сере­ дине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клет­ ках над нулем пишут последовательно —1, —2, —3 и т.д., а под нулем—1, 2, 3 и т.д.;

4. умножают частоты на условные варианты и запи­ сывают их произведения /г,ы,- в четвертый столбец; сло­ жив все полученные числа, их сумму 2^rti^u/ помещают в нижнюю клетку столбца;

5. умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения n,«_t? в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму 2n,u? поме­ чают в нижнюю клетку столбца;

6. умножают частоты на квадраты условных вариант, Увеличенных каждая на единицу, и записывают произве­ дения я,(и;+ I)² в шестой контрольный столбец; сложив ^Все полученные числа, их сумму 2^rt'(^ui + l)^a помещают ^в нижнюю клетку столбца.

Замечание 1. Целесообразно отдельно складывать отрица­ние числа четвертого столбца (их сумму у4_х записывают в клет-строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положительные

241

числа (их сумму А₂ записывают в предпоследнюю клетку столбца), тогда ^rtU A + A

Замечание 2. При вычислении произведений щщ пятого столбца целесообразно числа п,-и,- четвертого столбца умножать нац.

Замечание 3. Шестой столбец служит для контроля вычис! лений: если сумма 2 п,(м,Ч-1)² окажется равной сумме 2"'^и\4--j-2 2^rt/"(' + ^ra (^{как и} должно быть в соответствии с тождеством

V/i,-(m/ + 1)⁸ = 2^л'"* + ²2 ^Л/И' + "^ ^{то вычисления} проведены правильно.

После того как расчетная таблица заполнена и пр₀. верена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

Ml = (2 л,и,)/л, Ml = (2 п;и!)/п.

Наконец, вычисляют выборочные среднюю и диспер­сию по формулам (*) и (**#*) § 3:

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения: варианты 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 частоты 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

1. запишем варианты в первый столбец;

2. запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) по­ местим в нижнюю клетку столбца;

3. в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта вариан­ та расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбран­ ный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно —1, —2, —3, —4, а под нулем — 1, 2, 3, 4, 5;

4. произведения частот на условные варианты записываем в чет­ вертый столбец; отдельно находим сумму (—46) отрицательных и от­ дельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца;

5. произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

6. произведения частот на квадраты условных вариант, увели­ ченных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную табл. 7.

Контроль: 2 "«"? + ²2 ^га'"'' + " = 383-f 2• 57 + 100 = 597.

Вычисления произведены правильно. 242

Таблица 7

1	2	3	4	5	6
*i	ni	ui	niui	niut	«,.(«.+ 1)2
10,2	2	—4	—8	32	18
10,4	3	—3	—9	27	12
10,6	8	—2	— 16	32	8
10,8	13	— 1	]3	13	0
11,0	25	0	A1=— 46		25
11,2	20	1	20	20	80
11,4	12	2	24	48	108
11,6	10	3	30	90	160
11,8	6	4	24	96	150
12,0	1	5	5	25	36
			Л2=103
	n=100			2]п,ы? = 383	2«,-(«H-l)2=597

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Ml = (2 щщ)1п = 57/100 = 0,57; Л*2 = (2 щщ)1п = 383/100 = 3,83.

Найдем шаг: h= 10,4— 10,2 = 0,2.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию:

x_B = Mlh + C = 0,57-0,2+ 11,0= 11,1; О_в = [уИ;-(м1)²]Л² = [3,83 — (0,57)²]-0,2² = 0,14.