§ 1. Условные варианты

Предположим, что варианты выборки располо- в возрастающем порядке, т. е. в виде вариацион-^Ного ряда.

Равноотстоящими называют варианты, которые обра-³УК)т арифметическую прогрессию с разностью h.

237

Условными называют варианты, определяемые ством

где С — ложный нуль (новое начало отсчета); h — щ_аг т. е. разность между любыми двумя соседними первона! чальными вариантами (новая единица масштаба).

Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными.

Покажем, что если вариационный ряд состоит из равно- отстоящих вариант с шагом h, то условные варианты есть целые ч и с л а. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например х Тогда ^т'

,, — Xi Xm — x₁ + (il)h [x₁ + (ml)h] _ .

^ut~ h ~ h —i—m.

Так как i и т—целые числа, то их разность i—m = = u_t—также целое число.

Замечание 1. В качестве ложного нуля можно принять лю­бую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).

Замечание 2. Варианте, которая принята в качестве лож­ного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Пример. Найти условные варианты статистического распределения: варианты . . . 23,6 28,6 33,6 38,6 43,6 частоты ... 5 20 50 15 10

Решение. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6 (эта варианта расположена в середине вариационного ряда). Найдем шаг:

h = 28,6 — 23,6 = 5.

Найдем условную варианту:

«!=(*! —С)/й = (23,6 — 33,6)/5=— 2.

Аналогично получим: ы₂= — 1, м₃ = 0, u_i=l, и_ь = 2. Мы видим. что условные варианты — небольшие целые числа. Разумеется, опе­рировать с ними проще, чем с первоначальными вариантами.

§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборк» удобно пользоваться эмпирическими моментами, опр^е^^е] ления которых аналогичны определениям собтветству¹⁰

238

теоретических моментов (см. гл. VIII, § 10). В от-чи _от теоретических эмпирические моменты вычисляют данным наблюдений. ^п обычным эмпирическим моментом порядка k называют _ед_Нее значение k-x степеней разностей x_t — С:

где ^xi — наблюдаемая варианта, и,- — частота варианты, ^V/г,- — объем выборки, С — произвольное постоянное _чйсло (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k назы­вают обычный момент порядка k при С = 0

g частности,

_Т- е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k на­зывают обычный момент порядка k при С — х_в

В частности,

т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Легко выразить центральные моменты через обычные (рекомендуем читателю сделать это самостоятельно):

т₂ = М'₂ — (М[)\ (**)

М[У — ЪЩ[у f (***>

§ 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным

Вычисление центральных моментов требует до-ольно громоздких вычислений. Чтобы упростить рас-^еть1> заменяют первоначальные варианты условными.

Условным эмпирическим моментом порядка k называ-^т начальный момент порядка k, вычисленный для ус-

239

ловных вариант:

В частности,

Mi- _п -_т^— С——-j__T(*_B—с).

Отсюда

Таким образом, для того чтобы найти выборочную сред-нюю, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на h и к результату прибавить ложный нуль С.

Выразим обычные моменты через условные:

^^-Л*- n ~ А**'

Отсюда

Mk = Mlh^k.

Таким образом, для того чтобы найти обычный момент порядка к, достаточно условный момент того же порядка умножить на h^k.

Найдя же обычные моменты, легко найти централь­ные моменты по равенствам (**) и (***) предыдущего параграфа. В итоге получим удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через ус­ловные:

т_а = [ЛГ, —(ЛСД»⁸, И

²—3(M*)⁴]/i⁴. / ⁽*

В частности, в силу (**) и соотношения (*) предыдУ' щего параграфа получим формулу для вычисления выбо­рочной дисперсии по условным моментам первого и вто­рого порядков

£>_В = [ЛГ₂—(M\Y]h\ (****>

Техника вычислений центральных моментов по услов­ ным описана далее. ^^

240