§ 23. Другие характеристики вариационного ряда

Кроме выборочной средней и выборочной диспер­сии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.

Модой М_о называют варианту, которая имеет наиболь­шую частоту. Например, для ряда

варианта . . . .1 4 7 9 частота .... 5 1 20 6

мода равна 7.

Медианой т_е называют варианту, которая делит ва­риационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. n — 2k-\- 1, тот_е = х₄₊₁; при четном n = 2k медиана

m_e = (x_k + x_k+1)/2.

Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9 медиана равна (5 + 6)/2 = 5,5.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

*\ ⁼⁼ ■"■max -^min*

Например, для ряда 1 3 4 5 6 10 размах равен 10—1 =⁼^' Размах является простейшей характеристикой рассея­ния вариационного ряда.

Средним абсолютным отклонением 0 называют сред^нее арифметическое абсолютных отклонений:

234

Например, для ряда

х, 1 3 6 16 п, 4 10 5 1

6+1-16_80_ , ~20 '

^хв— 4+10 + 5+1 ~20

а - 4- |1-4| + 10- | 3-4 1+5- | 6-4 |+1-| 16-4| _ ₉ „

Среднее абсолютное отклонение служит для характерис­тики рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратичес-кого отклонения к выборочной средней:

V = oJx_B-100%.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рас­сеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации — безразмерная величина, поэтому он пригоден для срав­нения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность, например если варианты одного ряда выражены в сантиметрах, а другого — в грам­мах.

Замечание. Выше предполагалось, что вариационный ряд составлен по данным выборки, поэтому все описанные характерис­тики называют выборочными; если вариационный ряд составлен по Данным генеральной совокупности, то характеристики называют гене­ральными.

Задачи

1. Найти групповые средние совокупности, состоящей из Двух групп:

0,1	0,4	0,6
3	2	5
0,1	0,3	0,4
10	4	6

первая группа . . . лу

Щ

вторая группа . . . х,-Щ

Отв. х₁ = 0,41; х₂ = 0,23.

2. Найти общую среднюю по данным задачи 1 двумя способами: *) объединить обе группы в одну совокупность; б) использовать най-^fleHH в задаче 1 групповые средние.

Отв. л-= 0,29.

235

3. Дано распределение статистической совокупности:

*,- 1 4 5 ni 6 11 3

Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствуют частоты равна нулю. ^^е

4. Дано распределение статистической совокупности:

xi 4 7 10 15 п_: 10 15 20 5

Найти дисперсию совокупности: _а) И£ходя из определения диспеп сии; б) пользуясь формулой D = x*—[х]². Отв. р = 9,84.

5. Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсц_и совокупности, состоящей из трех групп:

1 2

первая группа . . . дс,-	1	2 8
я,-	30	15 5
вторая группа . . . х,-	1	6
л,-	10	15
третья группа . . . дс,-	3	8
«1	20	5
Отв. DBHrp = 4,6; £>межгр	,= 1;	О0бщ = 5,(	3.
6. Найти внутригрупповую,		межгрупповую и общую дисперсии
совокупности, состоящей из ,	цвух	групп:
первая группа . . . дс,-	2	7
л,-	6	4
вторая группа . . . дс,-	2	7
л,-	2	8
Отв. Овнгр = 5ГОмеЖгр =	= 1;	Оойш = 6.
7. Найти выборочную и	исправленную дисперсии вариационного
ряда, составленного по данным выборкам:
варианта .		1 2 5	8 9
частота . .		3 4 6	4 3

Ошв: а! = 8,4; s² = 8,84.

В задачах 8—9 даны среднее квадратическое отклонение, выбо­рочная средняя и объем выборки нормально распределенного приз­нака. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного мате­матического ожидания с заданной надежностью.

8. о = 2, *_в = 5,40, я =10, y = 0.95. Отв. 4,16_< а < 6,64.

9. ог = 3, *_в = 20,12, п = 25, у = 0,99. Отв. 18,57 < а< 21,67.

10. Найти минимальный объем выборки, при котором с ностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормаль распределенного признака по выборочной средней будет равна и> ' если среднее квадратическое отклонение равно 2.

Указание. См. замечание 2, § 15.

Отв. п = 385. _кОе

В задачах 11—12 даны «исправленное» среднее квадратичес _fl

отклонение, выборочная средняя и объем малой выборки нормал ^

распределенного признака. Найти, пользуясь распределекием ь

236

_яедта, доверительные интервалы для оценки неизвестного математи­ческого ожидания с заданной надежностью.

11. s = l,5, x_B=16,8, л =12, v = 0,95. Отв. 15,85 < а < 17,75.

12. s = 2,4, х_в=14,2, п = 9, v = 0,99. Отв. 11,512 < а < 16,888.

13. По данным 16 независимых равноточных измерений физичес­ кой величины найдены х_в = 23,161 и s = 0,400. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины и точность измерений а с надежностью 0,95.

Отв. 22,948 < а< 23,374; 0,224 < а < 0,576.

14. Найти доверительный интервал для оценки неизвестной ве­ роятности р биномиального распределения с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие появилось 18 раз.

Отв. 0,200 < р < 0,424.

15. Найти методом моментов точечную оценку эксцесса Е^ = -= (я₄/а⁴—3 теоретического распределения.

Отв. e_k — mJa\ — 3.

16. Найти методом моментов точечные оценки параметров аир гамма-распределения

/ ()

if Указание. Сделать подстановку у — хф и, используя гамма-

00

функцию Г (п) = \ x"-^lQ-xdx, найти сначала Ж (AT) = (cc-f I) p,

о D(X) = (a+l)P², а затем приравнять Л1(Х)=^_В, D(X) = D_B.

Отв. а* = (4/О_в)— 1; Р* = D_B/x_B.

17. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x_lt х_г, .... х_п точечную оценку неизвестного параметра Р гамма-рас­пределения, если параметр а известен.

Указание. Использовать плотность гамма-распределения, приведенную в задаче 16.

Отв. р* =~х_в/(а -f-1>.

Глава семнадцатая

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ