§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Можно доказать, что начальные и центральны^ эмпирические моменты являются состоятельными оценкам соответственно начальных и центральных теоретически

226

_ментов того же порядка. На этом основан метод момен-_оВ) предложенный К. Пирсоном. Достоинство метода — * _арнительная его простота. Метод моментов точечной ценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов рас­сматриваемого распределения соответствующим эмпириче­ским моментам того же порядка.

д. Оценка одного параметра. Пусть задан вид плот-цости распределения / (х, 0), определяемой одним неиз­вестным параметром 0. Требуется найти точечную оценку параметра в.

Для оценки одного параметра достаточно иметь _Одноу равнение относительне-этого параметра. Следуя методу моментов, приравняем/например, начальный тео­ретический момент первого порядка начальному эмпири­ческому моменту первого порядка: \\ = М₁. Учитывая,

_чТо v₁ = M(X) (см. гл. VIII, § 10), M_t = x_B (см. гл. XVII, § 2), получим

М(Х) = х_в. (*)

Математическое ожидание М (X), как видно из соотно­шения

М(Х)= J xf(x; в)Ле = ф(в),

— 00

есть функция от 0, поэтому (*) можно рассматривать как уравнение с одним неизвестным 0. Решив это уравнение относительно параметра 6, тем самым найдем его точеч­ную оценку 0*, которая является функцией от выбороч­ной средней, следовательно, и от вариант выборки:

Пример 1. Найти методом моментов по выборке x_lt х₂, , х_а

точечную оценку неизвестного параметра X показательного распреде­ления, плотность распределения которого f (х) = ке~^^х (х^Ь).

Решение. Приравняем начальный теоретический момент пер-^вого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:

^vi = Af₁, Учитывая, что \_Х = М (X), М₁=х_ь, получим

М(Х)=х_в.

финяв во внимание, что математическое ожидание показательного распределения равно 1/Х (см. гл. XIII, § 3), имеем

227

Отсюда

Итак, искомая точечная оценка параметра А. показательного пределения равна величине, обратной выборочной средней:

Б. Оценка двух параметров. Пусть задан вид плотносч распределения f (x; 0\, 0₂), определяемой неизвестньь^ параметрами Q₁ и 6₂. Для отыскания двух параметру необходимы два уравнения относительно этих параметру Следуя методу моментов, приравняем, например, нача,А ный теоретический момент первого порядка начально^ эмпирическому моменту первого порядка и центральц^ теоретический момент второго порядка центральному _аД лирическому моменту второго порядка: ^^ч

Учитывая, что v₁ — M(X),n₂ = D(X) (см. гл. VIII, § l(v Л1₁ = х_в, m₂ = D_B (см. гл. XVII, § 2), получим

М(Х) = х_в, \

D(X) = D_B. ( N

Математическое ожидание и дисперсия есть функции ₀

8_г и 0₂, поэтому (**) можно рассматривать как

двух уравнений с двумя неизвестными Q_t и 0. эту систему относительно неизвестных параметров самым получим их точечные оценки 0J и 02. Эти оценку являются функциями от вариант выборки:

®i ⁼ "Фг (^i. ^Х2> •••» ^хп)> ^1=^₃(^хи Х_а, . . ., Х_п).

Пример 2. Найти методом моментов по выборке x_lt х_г, ■■-, х_п точечные оценки неизвестных параметров а и а нормального рас­пределения

1

/ \^Х) ⁼⁼ ,/-!Г-

о К2п

Решение. Приравняем начальные теоретические и эмпиричес­кие моменты первого порядка, а также центральные и эмпирические моменты второго порядка:

Учитывая, что \i = M(X), щ = О(Х), М_х=х_в, m_t = D_B, получим

М(Л)=Г_В, D(X)=Z)_B. 228

риняв во внимание, что математическое ожидание нормального рас-еделения равно параметру а, дисперсия равна а² (см. гл. XII, § 2),

имеем:

Итак, искомые точечные оценки параметров нормального рас-

_яределения: _

Замечание 1. Для оценок неизвестных параметров можно приравнивать не только сами моменты, но и функции от моментов, о частности, этим путем получают состоятельные оценки характе­ристик распределений, которые являются функциями теоретических моментов. Например, асимметрия теоретического распределения _(сМ. гл. XII, § 9)

есть функция от центральных (.моментов второго и третьего порядков. Заменив эти теоретические моменты соответствующими эмпирическими моментами, получим точечную оценку асимметрии

Замечание 2. Учитывая, что Yт_г= V~D_B = o_B, последнюю формулу можно записать в виде

As = m_a/al.

Далее эта оценка будет принята в качестве определения асиммет­рии эмпирического распределения (см. гл. XVII, § 9).