§ 19. Оценка точности измерений

В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего Квадратического отклонения о случайных ошибок изме­рений. Для оценки о используют «исправленное» среднее Квадратическое отклонение s. Поскольку обычно резуль-^таты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же Математическое ожидание (истинное значение измеряемой ^величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточ­ных измерений), то теория, изложенная в предыдущем Параграфе, применима для оценки точности измерений.

Пример. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» Нйй^{ДНее ква}Дратическое отклонение s = 0,12. Найти точность измере-

^Чй с надежностью 0,99.

Рат ^{ш е н и е}- Точность измерений характеризуется средним квад-дц ^Ическим отклонением о случайных ошибок, поэтому задача сво-с ,„^{Ся к} отысканию доверительного интервала (#), покрывающего a

^Данной надежностью 0,99 (см. § 18).

223

По таблице приложения 4 по у = 0,99 ^и л=15 найдем 7 = 0,73 Искомый доверительный интервал

0,12(1—0,73)< а < 0,12(1+0,73), или 0,03 < а < 0,21.

§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте

Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события д в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.

А. Точечная оценка. В качестве точечной оценки не­известной вероятности р принимают относительную частоту

W = m/n,

где т—число появлений события Л; п—число испыта­ний •».

Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожи­дание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М(т) = пр (см. гл. VII, § 5), получим

М (W) = М [т/п] = М (т)/п = пр/п = р.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D(m) = npq (см. гл. VII, § 6):

D (W) = D [т/п] = D (m)/ft« = npq/n* = pq/n. Отсюда среднее квадратическое отклонение,

Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный ин­тервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. XII, § 6) была выведена формула, позволяющая найти вероятность того, что аб­солютная величина отклонения не превысит положитель­ного числа б:

* ' Напомним, что случайные величины обозначают прописным^ а их возможные значения — строчными буквами. В различных ^оПЬ1Т_с)! число т появлений события будет изменяться и поэтому являе^т случайной величиной М. Однако, поскольку через М уже обознач математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа п° лений события обозначение т.

224

_де X — нормальная случайная величина с математи­ческим ожиданием М(Х) = а.

Если п достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать, что от­носительная частота распределена приближенно нор­мально, причем, как показано в п. А, М (W) = р.

Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину X и ее математическое ожидание а соответ­ственно случайной величиной W и ее математическим ожиданием р, получим приближенное (так как относи­тельная частота распределена приближенно нормально) равенство

Р(|Г1<8)2Ф(6/о>). (**)

Приступим к построению^[ доверительного интервала (p_v Рг)> который с надежностью у покрывает оцениваемый параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью которых был построен доверительный интервал в гл. XVI, § 15. Потребуем, чтобы с надежностью у выполнялось соотношение (**):

Заменив a_w через I^pq/n (см. п. А), получим

где t = &V Отсюда

и, следовательно,

Р (| W—р К t VTq/n) = 2Ф (/) = у-

Таким образом, с надежностью у выполняется нера-^енство (чтобы получить рабочую формулу, случайную ^Личину W заменим неслучайной наблюдаемой относи-^ельной частотой w и подставим 1—р вместо q):

\w—p\<tVp(l—p)/n.

н_е Считывая, что вероятность р неизвестна, решим это Р^авенство относительно р. Допустим, что до > р. Тогда

w—p < / Ур(1--р)/п.

225

Обе части неравенства положительны; возведя их в квад рат, получим равносильное квадратное неравенство ₀^Г носительно р:

[(tyn)+l)]p* — 2[w + (tyn)]p + w*<0.

рни действительн меньший корень

больший корень

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому _еГо корни действительные и различные: меньший корень

<***)

^Ц

Итак, искомый доверительный интервал р_х < р < р где р₁ и р₂ находят по формулам (***) и (****).

При выводе мы предположили, что w~> р\ тот же ре-зультат получим при w < р.

Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испыта­нии. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с на­дежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Решение. По условию, п = 80, т=16, у = 0,95. Найдем от­носительную частоту появления события А:

w = m/n= 16/80 = 0,2.

Найдем / из соотношения Ф (/) = у/2 = 0,95/2 = 0,475; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим ^ = 1,96.

Подставив п = 80, ш = 0,2, ^ = 1,96 в формулы (***) и (****), получим соответственно р₁ = 0,128, р₂ = 0,299.

Итак, искомый доверительный интервал 0,128 < р < 0,299.

Замечание 1. При больших значениях п (порядка сотен) слагаемые t²f(2n) и (//(2л))² очень малы и множитель n/(t² + л) 2= 1, поэтому можно принять в качестве приближенных границ довери­тельного интервала

р₁ = ьу—t ~^w(\ — w)/n и p_i=w-\_rt 1^01(1—w)/n. Замечание 2. Чтобы избежать расчетов концов доверитель­ных интервалов, можно использовать табл. 28 книги: Ян ко Я-Математико-статистические таблицы. М., Госстатиздат, 1961.