§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное зна­чение а которой неизвестно. Будем рассматривать резуль­таты отдельных измерений как случайные величины X_lt Х₂, .... Х_п. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожида­ние а (истинное значение измеряемой величины), одина­ковые дисперсии а² (измерения равноточны) и распреде­лены нормально (такое допущение подтверждается опы­том). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в двух предыдущих параграфах, выполняются, и, следовательно, **ы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой вели­чины можно оценивать по среднему арифметическому Р^езультатов отдельных измерений при помощи довери-^Тельных интервалов. Поскольку обычно а неизвестно, ^Следует пользоваться формулами, приведенными в § 16.

ф Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений ^знческой величины найдены среднее арифметической результатов

219

отдельных измерений д: = 42,319 и «исправленное» среднее квадр_аТ}( ческое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значен»~ измеряемой величины с надежностью у = 0,95.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно _ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке мате-матического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверитель" ного интервала

7— t_yS/ Vn < а < 7+ t_yS/ V"n,

покрывающего а с заданной надежностью у = О$Ь.

Пользуясь таблицей приложения 3, по v = 0,95 и л = 9 ^находим *Y = 2,31.

Найдем точность оценки:

Найдем доверительные границы:

7— ^//«^ 42,319 — 3,85 = 38,469; 7+t_ys/V~n =42,319 + 3,85 = 46,169.

Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой вели­чины заключено в доверительном интервале

38,469 < а < 46,169.

§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое откло­нение о по «исправленному» выборочному среднему квад-ратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр о с заданной надежностью у.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(\о—s\< 6) = v, или P(s — б< о <s + 8) = y.

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство

s—6 < а < s + 6 в равносильное неравенство

s (1 — 6/s) < а < s (1 + 6/s). Положив 6/s=*<7, получим

⁾

220

Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение лучайную величину «хи»:

где п — объем выборки.

Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (#**)]. величина S^a (n—1)/а² распределена по закону %² * _п __ 1 степенями свободы, поэтому квадратный корень _из нее обозначают через %.

Плотность распределения % имеет вид (см. пояснение р конце параграфа)

Э то распределение не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит лишь or объема выборки п.

Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид Xi < X < Хг- Вероятность этого неравенства (см. гл. XI, § 2) равна заданной вероятности 7» т. е.

J ^ (X. я) d/ = у. Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так:

S(\+q) ^ a ^S(l-fl)-Умножив все члены неравенства на 5 ]/"п—1, получим

s У7Г=

l+q ^ a ^< \—q '

ИЛИ

в ероятность того, что это неравенство, а следовательно, равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, Равна

J Я(Х- «)<*X = Y-

Vn-il(\+q)

221

Из этого уравнения можно по заданным пну найти Практически для отыскания q пользуются таблицей ложения 4.

Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, oji_v чим искомый доверительный интервал (*), покрывающей а с заданной надежностью у, т. е. интервал

s(l—q)<o<s(\+q).

Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупност! распределен нормально. По выборке объема л = 25 найдено «неправ* ленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверитель! ный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратической отклонение а с надежностью 0,95.

Решен'ие. По таблице приложения 4 по данным у = 0,95 и л = 25 найдем <7*=О,32.

Искомый доверительный интервал (*) таков:

0,8 (1—0,32) < а < 0,8 (1 +0,32), или 0,544 < а < 1,056.

Замечай ие. Выше предполагалось, что q < 1. Если q > \_t то неравенство (*) примет вид (учитывая, что а > 0)

0 < а < s(l+q),

или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1)

x< оо.

Следовательно, значения q > I могут быть найдены из уравнения

Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным л и у. пользуются таблицей приложения 4.

Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п=10 найдено «исправ­ленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти довери­тельный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999.

Решение. По таблице приложения 4 поданным у = 0,999 я я =10 найдем д=1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

0 < а < 0,16(1 + 1,80), или 0 < о < 0,448.

Пояснение. Покажем, что плотность распределе­ния х имеет вид (**).

Если случайная величина X распределена по закону X² с k = n—1 степенями свободы, то ее плотность р^аС' пределения (см. гл. XII, § 13)

/(*)=■

222

_1И после подстановки k = n—1

_х(п-3)/2 _е —ДС/2

2

Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10)

_чТОбы найти распределение функции /=ср (Х)=КХ(х>0). Отсюда обратная функция

Так как % > 0, то | г|/ (х) | = 2/, следовательно,

в (х) = / [ч> <х>] ■ I f (х) I

В ыполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g(%), заменим на R (%, п)), окончательно получим

^(Х. »)= , ^Х.„