§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном о

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а неизвестно. Требуется оце­нить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно вос­пользоваться результатами предыдущего параграфа, в ко­тором а предполагалось известным.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обе

216

_зйачать через t):

_т х—а

которая имеет распределение Стьюдента с k = n—1 сте-_пеНями свободы (см. пояснение в конце параграфа); здесь

-v выборочная средняя, S — «исправленное» среднее

_кВадратическое отклонение, п — объем выборки. Плотность распределения Стьюдента

Г (я/2)

Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром п — объемом выборки (или, что то же, чис­лом степеней свободы k — n—1) и не зависит от неиз­вестных параметров а и о; эта особенность является его большим достоинством. Поскольку S(t, n)—четная функ­ция от t, вероятность осуществления неравенства

—^L < у определяется так (см. гл. § XI, 2, замечание):

S/yn

З аменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли

Доверительный интервал (х—t_ysl\/~n, x-\- tys/Уп), по­крывающий неизвестный параметр а с надежностью у.

Здесь случайные величины X и & заменены неслучайными величинами х и s, найденными по выборке. По таблице приложения 3 по заданным п и у можно найти t_y.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности Распределен нормально. По выборке объема п=\& найдены выбороч-Ц^ая средняя jk = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое откло-_n^eiUte s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при

^м°Щи доверительного интервала с надежностью 0,95. _v Решение. Найдем ty. Пользуясь таблицей приложения 3, по '^О.Эб и л=16 находим *_v=².¹³-

217

Найдем доверительные границы:

лГ— / _vs / V"ri = 20,2 — 2,13 • 0,8/ VT6 = 19,774. J+ tys/Уп =20,2 + 2,13 0,8/^^6 = 20,626.

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626. Замечание. Из предельных соотношений

= й-'¹/2

следует, что при неограниченном возрастании объема выборки п распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому прак­тически при я > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользо­ваться нормальным распределением.

Однако важно подчеркнуть, что для малых выбо­рок (п < 30), в особенности для малых значений п, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению довери­тельного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, если п = 5 и у «=0,99, то, пользуясь распре­делением Стьюдента, найдем /₇ = 4,6, а используя функ­цию Лапласа, найдем /_v = 2,58, т. е. доверительный ин­тервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.

То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельст­вует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.

Пояснение. Ранее было указано (см. гл. XII, § 14), что если Z—нормальная величина, причем M(Z) — Q, a(Z)=l, а V—независимая от Z величина, распределен­ная по закону %^г с k степенями свободы, то величина

Т = -jL= (*)

Vv/k

распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы. Пусть количественный признак X генеральной сово­купности распределен нормально, причем MiX)^⁰' о(Х) = о. Если из этой совокупности извлекать выборки объема п и по ним находить выборочные средние, ^т0 можно доказать, что выборочная средняя распределена нормально, причем (см. гл. VIII, § 9)

М(Х_в)=а, о{Х_ь) = 218

Тогда случайная величина

^Z

_таКже имеет нормальное распределение как линейная функция нормального аргумента Х_в (см. гл. XII, § 10, замечание), причем М (Z) = 0, a (Z) = 1. Доказано, что случайные величины Z и

V = ((n— l)S²)/a² (***)

независимы (S²— исправленная выборочная дисперсия) и _что величина V распределена по закону yf с к — п — 1 степенями свободы.

Следовательно, подставив^**) и (***) в (*), получим величину (

T = ((x_B-a)VT)/S,

которая распределена по закону Стьюдента с k — n—1 степенями свободы.