§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется ддм числом. Все оценки, рассмотренные выше,— _тОчечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра,

_е. приводить к грубым-ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интер­вальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика в* служит оценкой неизвестного пара­метра G. Будем считать в ^постоянным числом (в может быть и случайной величиной). Ясно, что в* тем точнее определяет параметр в, чем меньше абсолютная величина разности |в—в* |. Другими словами, если б>0 и |в—О* | < б, то чем меньше б, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число б характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют катего­рически утверждать, что оценка в* удовлетворяет нера­венству |0— 0*|<б; можно лишь говорить о вероят­ности у, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки в по в* называют вероятность у, с которой осуществ­ляется неравенство |0—в* | < б. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве у берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надеж­ность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |0 — 6*|<б, равна v^!

Р[\в—в* | < 6] = у.

Заменив неравенство 10—0* | < б равносильным ему двой­ным неравенством —б <©—©*< б, или 0*—б<0< <в*4-б, имеем

соотношение следует понимать так: вероятность того, интервал (0* — б, 0* + б) заключает в себе (покры-^ает) неизвестный параметр 0, равна у.

213

Доверительным называют интервал (в* — б, в* 4-6) который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью у.

Замечание. Интервал (в* — 6, в* + б) имеет случайны» концы (их называют доверительными границами). Действительно в разных выборках получаются различные значения в*. Следов^ тельно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверь! тельного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами — функциями от x_t, x₂, ...,х_п.

Так как случайной величиной является не оцениваемый пара, метр в, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания в в доверительный интервал, а о вероят-ности того, что доверительный интервал покроет 0.

Метод доверительных интервалов разработал амери­канский статистик Ю. Нейман, исходя из идей англий­ского статистика Р. Фишера.

§15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном о

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение о этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней х. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у.

Будем рассматривать выборочную среднюю х как слу­чайную величину X (х изменяется от выборки к выборке)

и выборочные значения признака х_г, х_г х_п—как

одинаково распределенные независимые случайные вели­чины Х_х, Х₂, . . ., Х_п (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение — о.

Примем без доказательства, что если случайная вели­чина X распределена нормально, то выборочная средняя И, найденная по независимым наблюдениям, также р^аС' пределена нормально. Параметры распределения X такова' (см. гл. VIII, § 9):

М(Х) = а,

214

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р(\Х—а\ <6) = _Т>

где V — заданная надежность.

Пользуясь формулой (см. гл. XII, § 6)

Р(|Х—а|<б) = 2Ф(б/о),

заменив X на X и о на а(Х) = ст/К"л, получим /> (| Х — а | < б) = 2Ф (б |/п/а ) = 2Ф (О,

где t=*bV"nfa.

Найдя из последнего равенства б = tal\^n , можем на­писать

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна у, окончательно имеем (чтобы получить рабочую

формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через х) Р (x—ta/Vn' <a<x + talVH) = 2Ф (t) = y.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно утверждать, что доверительный интервал (х—ta\\fn , x-\-to\Vn ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки б = tojy п.

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число / определяется из равенства 2Ф (/) = у, или Ф (t) = у/2; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент /, которому соот­ветствует значение функции Лапласа, равное у/2.

Замечание 1. Оценку | х — а \ < to/ Y^n называют классиче­ской. Из формулы 8 = to/ У^я, определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

1. при возрастании объема выборки п число 6 убывает и, следо­ вательно, точность оценки увеличивается;

2. увеличение надежности оценки у = 2Ф(/) приводит к увеличе­ нию t (Ф (t) — возрастающая функция), следовательно, и к возраста­ нию 6; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение ^с Известным средним квадратическим отклонением а = 3. Найти дове­ рительные интервалы для оценки неизвестного математического ожи- Дэния а по выборочным средним х, если объем выборки л = 36 и ^аДана надежность оценки у = 0,95. '

215

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(*) = 0>95 получим Ч> (/) — 0,475. По таблице приложения 2 находим / = 1,96. Найдем точность оценки:

б = to/ Уп = (1,96 • 3)/ У~Ш> = 0,98.

Доверительный интервал таков: (х—0,98; T-f-0,98). Например, если * = 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные Границы:

Г— 0,98 = 4,1 — 0,98 = 3,12; 7+ 0,98 = 4,1+ 0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласую. Щиесяс данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 <а <5,08) = 0,95. Действительно, так как а— постоянная величина, то либо она заклю­чена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 досто­верно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероят­ность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было ука­зано, изменяются от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надеж­ность 7 = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интер­валы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% слу­чаев он может выйти за границы доверительного интервала.

Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожида­ние с наперед заданной точностью б и надежностью у, то минималь­ный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

п = (следствие равенства S~ta/У~п).