§ 12. Сложение дисперсий

Теорема. Если совокупность состоит из несколь, ких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригруп. повой и межгрупповой дисперсий:

| ^межгр-

Доказательство. Для упрощения доказательства предположим, что вся совокупность значений количест­венного признака X разбита на две следующие группы:

Группа первая вторая

Значение признака . . . х_г х_г х₁ х₂

Частота т_хт_г п_г п₂

Объем группы N₁ = m_l + m_a N_a—ji₁-{-n_i

Групповая средняя . . . х_г х₂

Групповая дисперсия . . £>_1гр D_2rp Объем своей совокупности п = N₁ + N₂

2

2

Далее для удобства записи вместо знака суммы 2

пишется знак 2- Например, 2^m/ ⁼ S^mf — Щ + Щ —N_x.

t= i

Следует также иметь в виду, что если под знаком суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно выносить за знак суммы. Например, 2^m/(^xi—^х)² ~ - (х_г — х)* 2 mt = (^i — х)² N_t.

Найдем общую дисперсию:

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и при­бавив х_г:

=2 щ (*/—^хд²+² (*i—^х) S ^mi (*'—^xi)+S ^mi (*i - *)

Так как

(равенство следует из соотношения D_1TV и в силу § 7

210

₀ первое слагаемое принимает вид

2 m,- (xt—xj* = ЛГ^_1гр + N, {х_г—1су. (**)

Аналогично можно представить второе слагаемое чи-_сЛителя (*) (вычтя и прибавив х₂):

2 п, (х,—хУ = N₂D_iTp + iV, (х₂— х)*. (***)

Подставим (**) и (***) в (*):

_ _3L

+ (Wx (X_t— ХУ + N₂ (Х₂— ХУ)/П = D_BHrp

Итак,

Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведен в предыдущем параграфе.

Замечание. Теорема ш*еег--це только теоретическое, но и важное практическое значение. /Например, если в результате наблю­дений получены несколько групп значений признака, то для вычис­ления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большей объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление ебщей дисперсии заме­няется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает рас­четы.

§ 13. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в резуль­тате п независимых наблюдений над количественным при­знаком X извлечена повторная выборка объема п:

значения признака х_г х₂ ... х_к

частоты гц п₂ ... п_к

При этом п_х + п₂ + ... + n_k = п.

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию £>_г. Если в ка­честве оценки генеральной дисперсии принять выборочную Дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематиче-^ским ошибкам, давая заниженное значение генеральной Дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно дока-^^ть, выборочная дисперсия является смещенной оценкой г. другими словами, математическое ожидание выбороч-°^и Дисперсии не равно оцениваемой генеральной дис-

211

персии, а равно

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить D_B на дробь _пЦп—1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через s²:

^k _ ^k —

2 щ (x_t -x_B)² 2 "'to -*^в)2

^s -7ГГ\^и*-7Г=~\ п п~\

Исправленная дисперсия является, конечно, несме­щенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,

И так, в качестве оценки генеральной дисперсии при­нимают исправленную дисперсию

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квад­ратному корню из исправленной дисперсии:

Подчеркнем, что s не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое откло­нение.

Замечание. Сравнивая формулы

D_B (2 »/ (•«« -*в)²)/п и s* = (2 щ {xt-I)² )/(л- 1),

видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, пр^и достаточно больших значениях п объема выборки выборочная и исправ­ленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются испра⁰' ленной дисперсией, если примерно п < 30.

212