§ 10. Формула для вычисления дисперсии

Вычисление дисперсии, безразлично—выборочной _лИ генеральной, можно упростить, используя следую­щую теорему.

Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней^,

D = 3c² — [л:]*.

Доказательство. Справедливость теоремы выте­кает из преобразований:

D '^l=z ————— ==:

п п

Итак, где *

Пример. Найти дисперсию по данному распределению

^ 1 2 3 4 щ 20 15 10 5

Решение. Найдем общую среднюю:

Найдем среднюю квадратов значений признака: Искомая дисперсия

-_ 20-1 + 15-2+ Ю-3 + 5-4 100

*- 20+15+10+5 ~50

-2_ 20-1²+15-2²+10-З^а + 5-4^а __е

^Х ~ 50

D = *²— [x]² = 5 — 2²=1.

§11. Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного

^Ризнака X совокупности, безразлично—генеральной или

^Ыборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую

Руппу как самостоятельную совокупность, можно найти

РУпповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значений при-

207

знака, принадлежащих группе, относительно группо_Во» средней. ^ч

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно гру_П^ вой средней

О/гр = (2 Я/(■*/ — */

где П[ — частота значения x_t\ j — номер группы; Xj — гру_п_ повая средняя группы /; W/ = 2^rt/— объем группы /.

Пример 1. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:

Первая группа Вторая группа

Xi П; Х{ Щ

2 1 3 2

4. 7 8 3

5. 2

Р ешение. Найдем групповые средние:

Найдем искомые групповые дисперсии:

^Dir_P = (2 "<• (*i - xi = (Ь(2 —4)² + 7-(4 —4)² + 2-(5 —4)²)/10 = 0,6;

D_2rp = (2 • (3 - б)² + 3 • (8 - 6)²)/5 = 6.

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю ариф­метическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

где Nj — объем группы /; n—^Nj — объем всей сово­купности.

Пример 2. Найти внутригрупповую дисперсию по данным при­мера 1.

Решение. Искомая внутригрупповая дисперсия равна

_2rp)/n = (10.0,6 + 5- 6)/15= 12/5.

Зная групповые средние и общую среднюю, мож найти дисперсию групповых средних относительно обш^е средней.

208

]\Лежгрупповой дисперсией называют дисперсию груп-_pbix средних относительно общей средней:

_е 7-—групповая средняя группы /; Nj—объем группы /;

-"^-общая средняя; п = 2 ^/ — объем всей совокупности.

* /= 1

Пример 3. Найти межгруппсвую дисперсию по данным при-Решение. Найдем общую среднюю:

4 + 2-5 + 2-3 + 3-8 14

Используя вычисленные выше величины Xj = 4, х_г = 6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

_ ю.(4— 14/3)² + 5(6— 14/3)² 8

~~ 15 ~ 9 '

Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений при­знака всей совокупности относительно общей средней:

где п,-—частота значения х_{; х—общая средняя; п — объем всей совокупности.

Пример 4. Найти сбщую дисперсию по данным примера 1. Решение. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3:

+ 7-(4- 14/3)М-2-(5-14/3)² ,

15 '

2-(3—14/3)²4-3-(8—14/3)² 148

⁺ 15 ~45"

Замечание. Найденная общая дисперсия равна сумме внутри-РУпповой и межгрупповой дисперсий:

щ= 148/45; + Омежгр =12/5 + 8/9 = 148/45.

параграфе будет доказано, что такая закономерность ива для любой совокупности.

209