Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гмурман.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
4.92 Mб
Скачать

§ 7. Отклонение от общей средней и его свойств

Рассмотрим совокупность, безразлично—геце ральную или выборочную, значений количественного при* знака X объема п:

значения признака . . . . хг х2 ... xk

частоты п1 п2 ... пк

2

k При этом 2 П( = п. Далее для удобства записи знак сущ.

k мы 2 заменен знаком 2-

Найдем общую среднюю:

Отсюда

2 ni*i = п~х- (*)

Заметим, что поскольку х—постоянная величина, то

2 п,-х = х 2 Я/ = пх. (**)

Отклонением называют разность х{х между значе­нием признака и общей средней.

Теорема. Сумма произведений отклонений на соответ­ствующие частоты равна нулю:

2>,(*/—*) = <>• Доказательство. Учитывая (*) и (**), получим

2 Я/ (*/ — х) = 2 nixi — 2 nix ~= пх пх = О-

Следствие. Среднее значение отклонения равно нулю. Действительно,

Пример. Дано pacпpeдev^eниe количественного признака X: Х{ 12 3 л,- 10 4 6

Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.

Решение. Найдем общую среднюю:

частоты:

7 (10Н42 + 63)/201,8, Найдем сумму произведений отклонений на соответствую!11 оты:

2п/(лг,—7) = 10 (1 — 1,8)+ 4 (2—1,8)+ 6 (3—1,8) = 8 — 8 = 0-

204

§ 8. Генеральная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние зна-ений количественного признака X генеральной совокуп­ности вокруг своего среднего значения, вводят сводную *!арактеристику — генеральную дисперсию/

Генеральной дисперсией Dr называют среднее арифме­тическое квадратов отклонений значений признака гене­ральной совокупности от их среднего значения хг.

Если все значения xt хг, . .., xN признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака xlt хг хк имеют

соответственно частоты Nlt Nit ..., Nk, причем Nr +

+ N2 + • • • + Nk = N, то

т. е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую­щим частотам.

Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распреде­ления

xi 2 4 5 6 Ni 8 9 10 3

Найти генеральную дисперсию.

Решение. Найдем генеральную среднюю (см. § 3):

- _8-2 + 9-4+10-5 + 3-6_120 Хт~ 8 + 9+Ю + З ~~30 генеральную дисперсию;

Найдем

r

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— сРедним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением {С'пандартом) называют квадратный корень из генераль-Ой Дисперсии:

205

§ 9. Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяни наблюдаемых значений количественного признака выбору вокруг своего среднего значения хв, вводят сводную характе. ристику — выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией DB называют среднее арифме. тическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения хв.

Если все значения xt, x2, ..., х„ признака выборки объема п различны, то

Если же значения признака хг, х2, ..., xk имеют со-ответственно частоты nlt пг, ..., nk, причем «! + п2+.., ... -\-пк = п, то

:1

т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую­щим частотам.

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распре­деления

Xi 1 2 3 4

tit 20 15 10 5

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю (см. § 4):

- 20-1 + 15-2+10-3 + 5-4_100_д Х* 20+15+10 + 5 50

Найдем выборочную дисперсию:

20(1— 2)2+ 15-(2 —2)г+ 10-(3 —2)л + 5-(4 —2)2 _

= 50/50=1.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристи­кой— средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонение* (стандартом) называют квадратный корень из выборе4" ной дисперсии:

206