§ 7. Отклонение от общей средней и его свойств

Рассмотрим совокупность, безразлично—гец_е ральную или выборочную, значений количественного пр_и* знака X объема п:

значения признака . . . . х_г х₂ ... x_k

частоты п₁ п₂ ... п_к

2

k При этом 2 П( = п. Далее для удобства записи знак сущ.

k мы 2 заменен знаком 2-

Найдем общую среднюю:

Отсюда

2 ⁿi*i = ^п~х- (*)

Заметим, что поскольку х—постоянная величина, то

2 п,-х = х 2 Я/ = пх. (**)

Отклонением называют разность х_{—х между значе­нием признака и общей средней.

Теорема. Сумма произведений отклонений на соответ­ствующие частоты равна нулю:

2>,(*/—*) = <>• Доказательство. Учитывая (*) и (**), получим

2 Я/ (*/ — х) = 2 ⁿi^xi — 2 ⁿi^x ~^{= пх} — ^{пх =} О-

Следствие. Среднее значение отклонения равно нулю. Действительно,

Пример. Дано pacпpeдev^eниe количественного признака X: Х{ 12 3 л,- 10 4 6

Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.

Решение. Найдем общую среднюю:

частоты:

7 (10Н42 + 63)/201,8, Найдем сумму произведений отклонений на соответствую!¹¹ оты:

2п/(лг,—7) = 10 (1 — 1,8)+ 4 (2—1,8)+ 6 (3—1,8) = 8 — 8 = 0-

204

§ 8. Генеральная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние зна-_ений количественного признака X генеральной совокуп­ности вокруг своего среднего значения, вводят сводную *!_арактеристику — генеральную дисперсию/

Генеральной дисперсией D_r называют среднее арифме­тическое квадратов отклонений значений признака гене­ральной совокупности от их среднего значения х_г.

Если все значения x_t х_г, . .., x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака x_lt х_г х_к имеют

соответственно частоты N_lt N_it ..., N_k, причем N_r +

+ N₂ + • • • + N_k = N, то

т. е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую­щим частотам.

Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распреде­ления

xi 2 4 5 6 Ni 8 9 10 3

Найти генеральную дисперсию.

Решение. Найдем генеральную среднюю (см. § 3):

- _8-2 + 9-4+10-5 + 3-6_120 ^Хт~ 8 + 9+Ю + З ~~30 генеральную дисперсию;

Найдем

_r

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака генеральной совокупности вокруг своего ^среднего значения пользуются сводной характеристикой— ^сРедним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением {С'пандартом) называют квадратный корень из генераль-^Ой Дисперсии:

205

§ 9. Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяни наблюдаемых значений количественного признака выбору вокруг своего среднего значения х_в, вводят сводную характе. ристику — выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифм_е. тическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х_в.

Если все значения x_t, x₂, ..., х„ признака выборки объема п различны, то

Если же значения признака х_г, х₂, ..., x_k имеют со-ответственно частоты n_lt п_г, ..., n_k, причем «! + п₂+.., ... -\-п_к = п, то

:1

т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую­щим частотам.

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распре­деления

Xi 1 2 3 4

tit 20 15 10 5

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю (см. § 4):

- 20-1 + 15-2+10-3 + 5-4_100_д ^Х* 20+15+10 + 5 50

Найдем выборочную дисперсию:

20(1— 2)²+ 15-(2 —2)^г+ 10-(3 —2)^л + 5-(4 —2)² _

= 50/50=1.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристи­кой— средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонение* (стандартом) называют квадратный корень из выборе⁴" ной дисперсии:

206