§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в резуль­тате независимых наблюдений над количественным при­знаком X) извлечена повторная выборка объема п со значениями признака x_lt х₂, ..., х_п. Не уменьшая общ­ности рассуждений, будем считать эти значения признака различными. Пусть генеральная средняя х_г неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки. В каче­стве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю

х_в = (х₁-\-х₂ + . .. +х_п)/п.

Убедимся, что х_в — несмещенная оценка, т. е. покажем,

что математическое ожидание этой оценки равно х_г. Будем

Рассматривать х_в как случайную величину и x_lt х₂, .. ., х_п

^ак независимые, одинаково распределенные случайные

Дич Х_1У Х₂, .... Х_п. Поскольку эти величины оди-

_х распределены, то они имеют одинаковые числовые

Р^актеристики, в частности одинаковое математическое ^иДание, которое обозначим через а. Так как матема-

р ^еское ожидание среднего арифметического одинаково ^пРеделенных случайных величин равно математичес-

201

кому ожиданию каждой из величин (см. гл. VIII, § 9), то

Приняв во внимание, что каждая из величин X_lf Х_г, ..., Х_п имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую мы также рассматриваем как слу­чайную величину), заключаем, что и числовые характе­ристики этих величин и генеральной совокупности оди­наковы. В частности, математическое ожидание а каждой из величин равно математическому ожиданию признака X генеральной совокупности, т. е.

М (Х) = х_г=а.

Заменив в формуле (*) математическое ожидание а на ]с_г, окончательно получим

Тем самым доказано, что выборочная средняя есть не­смещенная оценка генеральной средней.

Легко показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней. Действи­тельно, допуская, что случайные величины Х_1г Х₂, ..., Х_п имеют ограниченные дисперсии, мы вправе применить к этим величинам теорему Чебышева (частный случай), в силу которой при увеличении п среднее арифметическое рассматриваемых величин, т. е. Х_ъ, стремится по веро­ятности к математическому ожиданию а каждой из вели­чин, или, что то же, к генеральной средней х_г (так как

х_г=а).

Итак, при увеличении объема выборки п выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней, а это и означает, что выборочная средняя есть состоятель­ная оценка генеральной средней. Из сказанного следует также, что если по нескольким выборкам достаточно боль­шого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут при­ближенно равны между собой. В этом и состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Заметим, что если дисперсии двух одинаково распре­деленных совокупностей равны между собой, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отно­шения объема выборки к объему генеральной совокуп­ности. Она зависит от объема выборки: чем объем выборки

202

больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной. Например, если из одной совокупности ото­ бран 1 % объектов, а из другой совокупности отобрано 4% объектов, причем объем первой выборки оказался большим, чем второй, то первая выборочная средняя бу­ дет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая. (

Замечание. Мы предполагали выборку повторной. Однако полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если ее объем значительно меньше объема генеральной совокупности. Это по­ложение часто используется на практике.

§ в. Групповая и общая средние

Допустим, что все значения количественного при­знака X совокупности, безразлично-генеральной или вы­борочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для средней всей совокупности.

Общей средней х называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифмети­ческой групповых средних, взвешенной по объемам групп.

Опуская доказательство, приведем иллюстрирующий пример.

Пример. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из сле­дующих двух групп:

Группа первая вторая

Значение признака ... 1 6 1 5

Частота 10 15 20 30

°бьем 10+15 = 25 20 + 30 = 50

Решение. Найдем групповые средние:

х₁ = (10-1 + 15-6)/25 = 4; 7₂ = (20-1+30-5)/50 = 3,4. Найдем общую среднюю по групповым средним:

7=(25-4 + 50-3,4)/(25 + 50) = 3,6.

Замечание. Для упрощения расчета общей средней совокуп­ней ^{бпльшого} обтема целесообразно разбить ее на несколько групп, ^Иги групповые средние и по ним общую среднюю.

203