§ 3. Генеральная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокуп­ность относительно количественного признака X.

Генеральной средней х_г называют среднее арифметичес­кое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x_lt х₂, ..., хн признака генераль-^к°й совокупности объема N различны, то

Если же значения признака х_г, х₂, ..., x_k имеют Ответственно частоты N_lt N₂, ..., N_k, причем N₁ +

"*■#!+... +N_k^N, то

х_г = (x.N, + x_tN₂ + ... + x_kN_k)lN,

199

т. е. генеральная средняя есть средняя взвешенная чений признака с весами, равными соответствующим _а стотам.

Замечание. Пусть генеральная совокупность объема Л? _с держит объекты с различными значениями признака X, равным" *ъ х₂, ..-, хм. Представим себе, что из этой совокупности науд_ач^и извлекается один объект. Вероятность того, что будет извлечен сбъек^ со значением признака, например х_ь очевидно, равна \/N. С это" же вероятностью может быть извлечен и любой другой объект. Таиим образом, величину признака X можно рассматривать как случайную!

величину, возможные значения которой лг_ь х₂ х_п имеют одина-

ковые вероятности, равные 1/N. Найдем математическоеожиданиеЛ1(;л."

Итак, если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака:

М (X) =~х_г.

Этот вывод мы получили, считая, что все объекты генеральной совокупности имеют различные значения признака. Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содер­жит по нескольку объектов с одинаковым значением признака.

Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением, признака X, и в этом случае опре­делим генеральную среднюю как математическое ожидание признака:

7_Г = М (X).

§ 4. Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена вы­борка объема п.

Выборочной средней х_в называют среднее арифмети­ческое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x_lt х₂, ..., х_п признака выборки объема п различны, то

Если же значения признака х_1У х₂, ..., х_к имеют соот­ ветственно частоты п_х, п_г, ..., п_к, причем п₁ + п₂-]

... + n_k = п, то

Х_в (^i^i ~Т" ^2^₂ '

ИЛИ

k

_I

.'■=1

200

_е выборочная средняя есть средняя взвешенная зна­чений признака с весами, равными соответствующим ча-_сТотам.

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной 0_Орки, есть, очевидно, определенное число. Если же извлекать угие выборки того же объема из тсй же генеральной совокупности,

■" выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как слу-айну^ю величину, а следовательно, можно говоритв-ораспределениях

Еретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых

характеристиках этого распределения (его называют выборочным), частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного

распределения.

Заметим, что в теоретических рассуждениях выборочные значения х_1г х₂, ..., х_п признака X, полученные в итоге независимых наблюдений, также рассматривают как слу­чайные величины Х_х, Х₂, . . ., Х_п, имеющие то же распре­деление и, следовательно, те же числовые характеристики, которые имеют X.