§ 1. Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретичес­ких соображений удалось установить, какое именно рас­пределение имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распреде­ление. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормаль­но, то необходимо оценить (приближенно найти) матема­тическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормаль­ное распределение; если же есть основания считать, что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр X, которым это распреде­ление определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например значения количественного при­знака x_lt х₂, . .., х_п, полученные в результате п наблюде­ний (здесь и далее наблюдения предполагаются независимы­ми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая х_г, х₂, . . ., х_п как независимые случайные величины X_lf Х₂, ..., Х„, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретиче­ского распределения — это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает при­ближенное значение оцениваемого параметра. Например, как будет показано далее, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция вреднее арифметическое наблюдаемых значений признака)

X = (X_l + X_t+...+X_n)/n.

Итак, статистической оценкой неизвестного пара-_От^тР^а теоретического распределения называют функцию наблюдаемых случайных величин.

197

§ 2. Несмещенные, эффективные и состоятельны оценки е

Для того чтобы статистические оценки давал, «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Пусть в* — статистическая оценка неизвестного пара, метра в теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема п найдена оценка 61. Повторим опыт т. е. извлечем из генеральной совокупности другую вы! борку того же объема и по ее данным найдем оценку ©• Повторяя опыт многократно, получим числа 01, 0j, •. . ,в* которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку в* можно рассматривать как случайную величину, а числа 6J, 02, ..., @%— как ее возможные значения.

Представим себе, что оценка 0* дает приближенное значение 0 с избытком; тогда каждое найденное по дан­ным выборок число 0* (i = l, 2, ..., k) больше истинного значения 0. Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины 0* боль­ше, чем 0, т. е. М (0*) > 0. Очевидно, что если 0* дает оценку с недостатком, то М (0*) < 0.

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим ^%) (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтсбы математическое ожидание оценки 0* было равно оценива­емому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения 0* больше, а другие меньше 0), однако ошибки разных знаков будут встречать­ся одинаково часто. Иными словами, соблюдение требова­ний М (0*) = 0 гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку 0*, мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому пара­метру 0 при любом объеме выборки, т. е.

М (&*) = 0. .

* > В теории ошибок измерений систематическими ошибками назы­вают неслучайные ошибки, искажающие результаты измерений в оД^нУ определенную сторону. Например, измерение длины растянутой ру^леТ' кой систематически дает заниженные результаты.

198

Смещенной называют оценку, математическое ожидание

_Оторой не равно оцениваемому параметру.

^f< Однако было бы ошибочным считать, что несмещенная

ценна всегда дает хорошее приближение оцениваемого

параметра. Действительно, возможные значения в* могут

g_biTb сильно рассеяны вокруг своего среднего значения,

е. дисперсия D (в*) может быть значительной. В этом сЛУ^чае найденная по данным одной выборки оценка, на­пример &1, может оказаться весьма удаленной от среднего значения в*, а значит, и от самого оцениваемого пара­метра в; приняв ®1 в качестве приближенного значения в, мы допустили бы большую ошибку. Если же потребовать, чтобы дисперсия в* была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффек­тивности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую воз­можную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (п вели­ко!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, кото­рая при п—<-оо стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п—>-оо стремится к нулю, то такая оценка оказы­вается и состоятельной.