§ 2. Краткая историческая справка

Математическая статистика возникла (XVII в \ и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Даль нейшее развитие математической статистики (вторая по ловина XIX—начало XX в.) обязано, в первую очеред_ь П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову, ~ также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.

В XX в. наиболее существенный вклад в математи­ческую статистику был сделан советскими математиками (В. И. Романовский, Е. Е. Слуцкий, А. Н. Колмогоров Н. В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. ф_и' шер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

§ 3. Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однород­ных объектов относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характе­ризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируе­мый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обсле­дуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование фи­зически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой назы­вают совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. „,

Объемом совокупности (выборочной или генеральной/ называют" число объектов этой совокупности. Например-если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 Д^е'

188 |1

„лей, ^то объем генеральной совокупности #=1000, а <5ъем выборки п— 100.

Замечание. Часто генеральная совокупность содержит ко-

чное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то

"яогда ^в и^елях упрощения вычислений, или для облегчения теоре-

яческих выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит

бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправды-

ается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (доста-

очно большого объема) практически не сказывается на результатах

обработки данных выборки.

§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бес­повторные.

Повторной называют выборку, при которой отобран­ный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобран­ный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным слу­чайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было до­статочно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции гене­ральной совокупности. Это требование коротко формули­руют так: выборка должна быть репрезентативной (пред-спавительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что Выборка будет репрезентативной, если ее осуществить Случайно: каждый объект выборки отобран случайно из ^Генеральной совокупности, если все объекты имеют оди­наковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно ве-

J^^K_> а выборка составляет лишь незначительную часть

^ °и совокупности, то различие между повторной и бес-

^Вторной выборками стирается; в предельном случае,

189

когда рассматривается бесконечная генеральная совокуц. ность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.