1. Найти законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины, заданной законом распределения

у		X
	X,		*•
У% У*	0.12 0,10	0.18 0.11	0,10 0,39

^xi *г х» У У1 У* 0,22 0,29 0,49 р 0,40 0,60

2. Найти вероятность того, что составляющая X двумерной слу-^ч*йной величины примет значение X < 1/2 и при этом составляю-"*^ая У примет значение У < 1/3, если известна функция распреде­ления системы

Отв. Р(Х < 1/2, К < 1/3) =9/16.

_h 3. Найти вероятность попадания случайной точки (X; Y) в яря-°Угольник, ограниченный прямыми хй=п/4, ж=л/2, у = я/6. у = я/3,

185

если известна функция распределения

F (х, у) = sin х sin у (0 < х < я/2, О < у < я/2).

Отв. Р (я/4 < X < Л/2, я/6 < Y < я/3) = 0,11. 4. Найти плотность распределения системы двух случайных личин по известной функции распределения

F{x, у)-=(\— е-²*)(1— е-s») (xSsO

Ome. f(x, </)=^ф=

5. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми # = х = я/2, у = О, у = я/2, плотность распределения системы двух сл чайных величин f (х, у)—С sin (х + у); вне прямоугольника fix.y)^ Найти: а) величину С; б) функцию распределения системы.

Отв. а) С = 0,5; б) F (x, j/) = 0,5 [sin x+sin у— sin (0<ж<я/2, 0<у<я/2).

6. Система двух случайных величин раслределена равномерно- в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 4, х = 6, у =10, 1/ = 15 функция / (х, у) сохраняет постоянное значение, а вне этого прямо­ угольника она равна нулю. Найти: а) плотность / (х, у) совместного распределения; б) функцию распределения системы.

Ome. a) fix, «,)= {«-'

^М)(

7. Плотность совместного распределения системы двух случайных

величин f{x, y)=₍₄_₍:_je8)(9-|-y²) ' ^{Найти: а}) величину С; б) функ­цию распределения системы.

Отв. а)С=6/я²; б) Fix, _y) = (l

8. Двумерная случайная величина задана плотностью совмест­ного распределения

/(, у) .

Найти условные законы распределения составляющих.

³

₂

Отв. q>(*| у) = -—г е ; ^(x | у)^—^-

У л у я

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Глава пятнадцатая

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

§ 1. Задачи математической статистики

Установление закономерностей, которым подчи­нены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разрабо­тать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависи­ мости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвест­ ного распределения или о величине параметров распре­ деления, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие Другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неоп реде л ен н ости.

Итак, задача математической статистики состоит в со-Дании методов сбора и обработки статистических данных ^ДЛя получения научных и практических выводов.

187