§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин

р

_оДве коррелированные величины также и зависимы, ительно, допустив противное, мы должны затслю-

Две случайные величины X и Y называют кор-Р^елированными, если их корреляционный момент (или, ^° то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; ■* ^и Y называют некоррелированными величинами, если ^Их корреляционный момент равен нулю. Д

д _оДве Действ

, _что р_х^₌{)_{г а это} противоречит условию, так как

коррелированных величин уь_ху^О.

_е Обратное предположение не всегда имеет место, т. е.

^ли две величины зависимы, то они могут быть как

РРелированными, так и некоррелированными. Другими

179

словами, корреляционный момент двух зависимых вели­чин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плот­ностью распределения:

f (х, у)=1/6л внутри эллипса jc²/9 + jt²/4 = I; f\x, y)=0 вне этого эллипса.

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (см. § 12): 2 j

f\ (*) ⁼ с^ * ⁹~**' ^^~2я ^ ⁴~^{г/3 ВН}У^ТР^И заданного эллип-са и ft (х) = 0, f₂ (у) — 0 вне его.

Так как f (х, у) Ф h (x) /_а (у), то X и К —зависимые величины (см. § 16).

Для того чтобы доказать некоррелированность X и Y, доста­точно убедиться в том, что ц_ху = 0. Найдем корреляционный момент по формуле (см. § 17)

= J J [x-M(X)][y-M(Y))f(x, y)dxdy.

— 00 — 00

Поскольку функция f_t (x) симметрична относительно оси Оу, то М(Х)=0; аналогично, М(К)=0 в силу симметрии / (у) относи­тельно оси Ох. Следовательно,

^Xyf ^{(JC> У) dx dy}-Вынося постоянный множитель /(ж, у) за знак интеграла, получим

00 , 00 V

= /(*. У) $ Iff J *<<* W

— 00 \ — QD /

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала коорди­нат), следовательно, ц*!/ = 0, т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вы­текает коррелированность. Из независимости двух вели­чин следует их некоррелированность, но из некоррели­рованности еще нельзя заключить о независимости х величин.

180

Заметим, однако, что из некоррелированности нор-ально распределенных величин вытекает их независи­мость. Эт° утверждение будет доказано в следующем Параграфе-

§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости

На практике часто встречаются двумерные слу­чайные величины, распределение которых нормально.

Нормальным законом распределения на плоскости на­зывают распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

X

_

_уУ I —г\_и Пдг-о,)» (у-о,)» х-а, у-а

" ^xv° °

_J

Мы видим, что нормальный закон на плоскости опре­деляется пятью параметрами: а_г, а₂, а_х, а_у и г_ху. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероят­ностный смысл: а_г, а₂ — математические ожидания, о_х, а_у—средние квадратические отклонения, г_Ху — коэффици­ент корреляции величин X и Y.

Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некорре­лированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле (*) т_хц = 0, получим

_ I

'<*'*Ь-Зп5-5-

Таким образом, если составляющие нормально рас-^пРеделенной случайной величины некоррелированны, то ^плотность совместного распределения системы равна ^произведению плотностей распределения составляющих, ?,°тсюда и следует независимость составляющих (см. § 16). ^пРаведливо и обратное утверждение (см. § 18).

Итак, для нормально распределенных составляющих j| УМерной случайной величины понятия независимости Некоррелированности равносильны.

181

Замечание. Используя формулы (*) и (**) § 12, можно _До казать, что если двумерная случайная величина распределена ноп* мально с параметрами а_х, а_а, а_х, а_у, г_ху, то ее составляющие так>к распределены нормально с параметрами, соответственно равными а а_х и а₂, о_у. ^ь