§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляю­щих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корре­ляции.

Корреляционным моментом ц_ху случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

li_xy = M{\X-M{X)][Y-M(Y)]\.

Для вычисления корреляционного момента дискрет­ных величин используют формулу

И*„ =.SS [xt-M (X)] [_У/-М (Y)]р (х_{, уу),

i = 1 /«= 1

а для непрерывных величин—формулу

00 00

И„,= I §[x-M(X)][y-M(Y)]f(x, y)dxdy.

— OD —00

176

Корреляционный момент служит для характеристики _сВязи между величинами X и У. Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; следовательно, если корреляционный момент _Не равен нулю, то X и У— зависимые случайные вели­чины.

Замечание 1. Учитывая, что отклонения есть центрирован­ные случайные величины (см. гл. VIII, § 2), корреляционный момент можно определить как математическое ожидание произведения цент­рированных случайных величин:

можно записать в виде

Замечание 2. Легко убедиться, что корреляционный момент но записать в виде

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и У— независимые случайные величины, то их отклонения X — М (X) и Y—M (У) также независимы. Пользуясь свойствами ма­тематического ожидания (математическое ожидание про­изведения независимых случайных величин равно произ­ведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

= М [X — М (X)] М [У — М (У)] = 0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размер­ностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же Двух величин величина корреляционного момента имеет Различные значения в зависимости от того, в каких еди­ницах были измерены величины.

Пусть, например, X и У были измерены в сантимет­рах и ji = 2 см²; если измерить X и У в миллиметрах, ^То ^ = 200 мм. Такая особенность корреляционного мо-^Мента является недостатком этой числовой характеристи-

^и> поскольку сравнение корреляционных моментов Различных систем случайных величин становится затруд­нительным. Для того чтобы устранить этот недостаток,

^водят новую числовую характеристику—коэффициент ^П0Рреляции.

177

Коэффициентом корреляции г_ху случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента * произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Так как размерность \i_xy равна произведению размер­ностей величин X и У, о_х имеет размерность величины X, о_у имеет размерность величины У (см. гл. VIII, § 7) то г_ху — безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преиму­щество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых слу­чайных величин равен нулю (так как \i_xy — 0).

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей це­лесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормиро­ванную случайную величину X', которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическомуотклонению:

Х' = (Х-М(Х))/а_х.

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

= м Г

О_х

Легко убедиться, что коэффициент корреляции т_ху равен корре­ляционному моменту нормированных величин X' и У":

M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}

Т еорема 2. Абсолютная величина корреляционного мо­мента двух случайных величин X и Y не превышает сред­него геометрического их дисперсий:

Д оказательство. Введем в рассмотрение случай­ную величину Z^ — OyX—o_xY и найдем ее дисперсию D_l) = M[Z_l—т_г1]^г. Выполнив выкладки, получим

178

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

Отсюда

Введя случайную величину Z, = о_уХ + o_xY, аналогич­но найдем

Рху^— °х°у- (***)

Объединим (**) и (***):

— °х<*у < Н-лгу < ^ах?у> (****)

или Итак,

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента кор­реляции не превышает единицы:

Доказательство: Разделим обе части двойного неравенства (****) на произведение положительных чисел

Итак,