§ 16. Зависимые и независимые случайные величины

Мы назвали две случайные величины независи­мыми, если закон распределения одной из них не зави­сит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безуслов­ным распределениям.

Выведем необходимые и достаточные условия незави­симости случайных величин.

Теорема. Для того чтобы случайные величины X и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна про­изведению функций распределения составляющих:

F(x, y) = F₁(x)F₂(y).

Доказательство, а) Необходимость. Пус^ть X и Y независимы. Тогда события X < х и Y <у незз-

174

цсимы, следовательно, вероятность совмещения этих Событий равна произведению их вероятностей:

Р(Х<х, Y<y) = P(X<x)P(Y<y),

или

F(x, y) = F_l(x)F_t(y).

б) Достаточность. Пусть F(x, y) = F₁(x)F_t(y). Отсюда

Р(Х<х, Y<y)^P(X<x)P(Y<y),

_т, е. вероятность совмещения событий X < х и Y < у равна произведению вероятностей этих событий. Следова­тельно, случайные величины X и Y независимы.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и доста-точно, чтобы плотность совместного распределения си­стемы (X, Y) была равна произведению плотностей рас­пределения составляющих:

f(x. У) = П(х)Ш.

Доказательство, а) Необходимость. Пусть X и Y—независимые непрерывные случайные величины. Тогда (на основании предыдущей теоремы)

F(x, y) = F₁(x)F₂(y). Дифференцируя это равенство по х, затем по у, имеем

дхду дх ду '

или (по определению плотностей распределения двумер­ной и одномерной величин)

f(x, У) = М*)/,(У). б) Достаточность. Пусть

f(x, У) = ШШ-Интегрируя это равенство по х и по у, получим

ух х у

J J f(x, y)dxdy= § f₁(x)dx | f₂(y)dy,

— 00 — CO —CD —QD

или (см. § 8 гл. XIV и § 3 гл. XI)

F(x, y) = F_l(x)F_t{y).

175

Отсюда (на основании предыдущей теоремы) чаем, что X и Y независимы.

Замечание. Так как приведенные выше условия являют необходимыми и достаточными, то можно дать новые определеци" независимых случайных величин: ' ^я

1. две случайные величины называют независимыми, если фуц_к ция распределения системы этих величин равна произведению фу_н|[~ ций распределения составляющих;

2. две непрерывные случайные величины называют независимы ми, если плотность совместного распределения системы этих величин равна произведению плотностей распределения составляющих.

Пример. Двумерная непрерывная случайная величина (X, у\ задана плотностью совместного распределения f(x, j/) = (6in jc sin y)/4

в квадрате 0<^<л, 0<у<я; вне квадрата f (х, ^)~=0. Доказать что составляющие X и Y независимы. '

Решение. Используя формулы (*) и (**) § 12, легко найдем плотности распределения составляющих: f_x (х) = sin х/2, /_а {у) = sin у/2. Плотность совместного распределения рассматриваемой системы рав­на произведению плотностей распределения составляющих, поэтому X и Y независимы.

Разумеется, можно было доказать, что условные законы распре­деления составляющих равны их безусловным законам, откуда также следует независимость X и У.