§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Пусть (X, Y)—непрерывная двумерная случай-^Ная величина.

Условной плотностью <р(х|#) распределения состав- X при данном значении Y — y называют отно-

171

шение плотности совместного распределения / (х, у) си. стемы {X, У) к плотности распределения /„(у) состав-ляющей У:

Подчеркнем, что отличие условной плотности 4>(х\у) от безусловной плотности /„ (х) состоит в том, что функ­ция ц>(х\у) дает распределение X при условии, что со­ставляющая У приняла значение У = у; функция же /_х (х) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая У.

Аналогично определяется условная плотность состав­ляющей У при данном значении X = х:

Ч> (У I *) = /(*. yVfAx). (**)

Если известна плотность совместного распределения f (x, у), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (*) и (**) (см. § 12) по формулам:

Ф (х I У) = / (х, у)\ J / (х, у) Ах, (**»)

— CD

00

х) = / (х, у)\ J f (х, у) dy. (****)

Запишем формулы (*) и (**) в виде

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределе­ния другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана ностью совместного распределения

М/(я/-^а) при х» + у* < г», ' \0 при х²-^-у² > г². ||

172 I

Найти условные законы распределения вероятностей состав-

Ч1^ИХ-

Решение. Найдем условную плотность составляющей X при

| _х | < V^r* — У? ^по формуле (***):

( 1/(пг²) 1_

<Р(х\У)— —

Так как /(л;, у) = 0 при х²+ у^г > г*, то ф(*|у) = 0 при |«|>

П ользуясь формулой (****), аналогично найдем условную плот­ность составляющей Y:

1/(2 ^Т^Гр) при \у\< УТ^Т*. 0 при |у| > Vr*-x*.

§ 15. Условное математическое ожидание

Важной характеристикой условного распределе­ния вероятностей является условное математическое ожи­дание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при Х = х (х — определенное воз­можное значение X) называют произведение возможных значений У на их условные вероятности:

Для непрерывных величин

где i|5(t/|x) — условная плотность случайной величины Y при Х = х.

Условное математическое ожидание М (Y \ х) есть функ­ция от х:

^Оторую называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяются условное математическое у чдание случайной величины X и функция регрессии

173

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задан табл. 5. ^а

Таблица g

У	X
		*,=3
ух = 3 у2=6	0,15 0,30	0,06 0,10	0,25 0,03	0,04 0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей Y при Х=х₁=\.

Решение. Найдем р (х_г), для чего сложим вероятности, по-мешенные в первом столбце табл. 5:

р(*₁) = 0,15 + 0,30 = 0,45.

при

Найдем условное распределение вероятностей величины Y X=_Xl=l (см. § 13):

Р («/11 *i)=P (*ь Уг)1р (*i) = 0,15/0,45= 1/3; Р (02 I *i) = Р (*₂. «/₂)/Р (*i) = 0,30/0,45 = 2/3.

Найдем искомое условное математическое ожидание по фор-муле (*):

2

м (Y | х=*!> =;2 у/р (*у I *о=»ip c«

= 3(1/3)+ 6 (2/3) = 5.