§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины

Пусть известна плотность совместного распреде. ления вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из состав, ляющих.

Найдем сначала плотность распределения составляю, щей X. Обозначим через F_tix) функцию распределения составляющей X. По определению плотности распредели ния одномерной случайной величины,

П риняв во внимание соотношения

* и Fix, у)= $ J f{x, y)dxdy (см. § 8),

— оо —в

F₁(x) = F(x, оо) (см. §4),

найдем

F,W= $ 5 fix. y)dxdy.

Продифференцировав обе части этого равенства по х, получим

или

168

Аналогично находится плотность распределения состав­ляющей Y:

•о

Итак, плотность распределения одной из составляю­щих равна несобственному интегралу с бесконечными пре­делами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пример. Двумерная случайная величина (X, У) задана плот­ностью совместного распределения

_{0 при} jri/9-f j,t/4> 1.

Найти плотности распределения составляющих X и Y.

Решение. Найдем плотность распределения составляющей X по формуле (*):

Итак,

)—xV(9n) при I ж| < 3,

О при |x|ss3.

•Аналогично, используя формулу (**), найдем плотность распре­деления составляющей Y:

f (и\=1 ^*—У/(2п) при |у|<2,

У 0 при

Рекомендуем читателю для контроля самостоятельно убедиться' том, что найденные функции удовлетворяют соотношениям

$'■■

§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Известно, что если события Л и В зависимы, то Условная вероятность события В отличается от его безус-°^вной вероятности. В этом случае (см. гл. III, § 2)

(.)

169

Аналогичное положение имеет место и для случайна величин. Для того чтобы охарактеризовать зависимое** между составляющими двумерной случайной вели введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную ели чину (X, Y). Пусть возможные значения составляют^ таковы: х_х, х₂, ..., х_п; у_х, у₂, ..., у_т.

Допустим, что в результате испытания величина у приняла значение Y = у_х\ при этом X примет одно нз своих возможных значений: х_и или х₂, . .., или х_п. Обо. значим условную вероятность того, что X примет, на^ пример, значение x_t при условии, что Y = y_lt через P(^xi\yi)- Эт^а вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности р{х_х).

В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:

P(Xi\yj) (i=l, 2, ..., п; /=1, 2, ..., т).

Условным распределением составляющей X при У = у, называют совокупность условных вероятностей p(x_l\y.)_t P(^xz\y/)t •••» Р(^хп\У/)> вычисленных в предположении] что событие Y = уу (/ имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило. Аналогично опреде­ляется условное распределение составляющей Y.

Зная закон распределения двумерной дискретной слу­чайной величины, можно, пользуясь формулой (*), вы­числить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения X в предпо­ложении, что событие Y = y_x уже произошло, может быть найден по формуле

^{Е (}'^{=1> 2 п)}'

В общем случае условные законы распределения со­ставляющей X определяются соотношением

Аналогично находят условные законы распределения составляющей У:

Замечание. Сумма вероятностей условного распределен*¹ равна единице. Действительно, так как при фиксированном yj им«^е

170

I^е i = 1

)> ^то

Я Я

2 H^xi\yj)=^i P(*i

i= 1 I i=1

Диалогично доказывается, что при фиксированном Х(

^о свойство условных распределений используют для контроля вы­числений.

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана табл. 4.

Таблица 4

У	X
		"г
01	0,10 0,06	0,30 0,18	0,20 0,16

Найти условный закон распределения составляющей X при ус­ловии, что составляющая Y приняла значение у_х.

Решение. Искомый закон определяется совокупностью сле­дующих условных вероятностей:

P(xi\yi), Р(х₂\у!), Р{х₃\у_х).

Воспользовавшись формулой (*) и приняв во внимание, что ) = 0,60 (см. § 2, пример), имеем:

Р (*i I </i) = /> (*i, Vi)IP {Уг) = 0,10/0,60= 1/6; Р (*з 10i) = Р (*г. »i)/P &i) = 0,30/0,60 = 1/2; Р (х, | ifc) == Р (х„ _У1)/р (Ух) = 0,20/0,60 = 1/3.

Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедим­ся, что их сумма равна единице, как и должно быть, в соответствии ^с замечанием, помещенным выше: 1/6-f-1/2+1/3=1.