§ 7F Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной, двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

Двумерная случайная величина задавалась с по­мощью! функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f (x, у) двумерной непрерывной случайной величины (X, У) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Г(х,у)- _дхду .

Геометрически эту функцию можно истолковать как по­верхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения f(x, у) системы случайных величин (X, Y) по известной функции распреде­ления

F(x, i/) = sin*sinj/(0<*<n/2, 0<#<я/2). Решение. По определению плотности совместного распределения,

Найдем частную производную по х от функции распределения: дР

cos х sin

Найдем от полученного результата частную производную по у, в итоге получим искомую плотность совместного распределения:

d²F f{x, y)=gj^ = co

§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

Зная плотность совместного распределения / (х, у), ^можно найти функцию распределения F (х, у) по формуле

У х

F(x,y)= S J f(x,y)dxdy,

— 00 —«

163

что непосредственно следует из определения плотность распределения двумерной непрерывной случайной вед^ чины {X, Y).

Пример. Найти функцию распределения двумерной случайное величины по данной плотности совместного распределения

,I ^tV)

Решение. Воспользуемся формулой

у х F(x,y)= J J f(x, y)dxdy.

— оо — со

Положив f(x, y)=_fft(_1+Jtgj_(1+yg). получим

§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности

Вероятность попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник ABCD (рис. 16) равна (см. § 6)

Р (x_t < X < х„ у, < У < у_%) = [F (х_ш, у,)-F(x_lt у_ш)] -

— [/4*1. yO — Fix» УгЯ

Обозначив для краткости левую часть равенства через Рabcd ^и применив к правой части теорему Лагранжа, получим

где

Хг<1 <x_t, bx = x_t—x_t; y_t<i\<y_t, Ьу = У_х—У1-

Отсюда

F" (t _п\ — ^рляср it)

164

Приняв во внимание, что произведение АхАу равно _лОщади прямоугольника ABCD, заключаем: / (g, r\) есть

вероятности

Y Ун	А(*	;у,+ду) в(*	,+А*,У,+ау)
	*У
	С(Х"У])	Дх
0		X,

попадания случайной точ­ки в прямоугольник ABCD

площади этого прямо­угольника.

Рис. 16

Перейдем теперь в ра­венстве (**) к пределу при дя—>. 0 и Ау—»-0. Тогда %~-*х, Ц—+У и, следова­тельно, /(£, л)—* /(*, #).

Итак, функцию / (х, у) можно рассматривать как пре­дел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами Ад; и Ау) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стре­мятся к нулю.