Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гмурман.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
4.92 Mб
Скачать

§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы слу­чайных величин X и У, легко найти вероятность того, что в результате испыта­ния случайная точка попа­дает в полуполосу х% < X < <*2 и У < у (рис. 14, а) или в полуполосу Х<х и j/,<F<t/2 (рис. 14, б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (xz'i У) вероятность попада­ния точки в квадрант с вер­шиной (х{, у) (рис. 14, а), по­лучим

Аналогично имеем Р, ^<К<|/2) =

= F (х, уг) F (х, ух). Рис. 14

Таким образом, вероятность попадания случайной °чки в полуполосу равна приращению функции распре-по одному из аргументов.

161

§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15). Пусть урав! нения сторон таковы:

Х = хи Х = х3, Y = yt и К=«/2.

ность равна F(x2, yt) F (xlt ух)):

У

х'Уа)

У.

-та

D(xs'tyA

0

Рис. 15

Найдем вероятность по­падания случайной точки (X; У) в этот прямоуголь­ник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности по­падания случайной точ­ки в полуполосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна

честь вероятность попада­ния точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероят-

—F(xx, уг)]-

Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х—п/6, *=л/2, y = n/i> у = п/3, если известна функция распределения

F(x, y) = sinxs\n

Хх=л/6, х2 = я/2, J/i=n/4, «/2 =

Решение. Положив в формуле (*), получим

162

Р (я/б < X < л/2, я/4 < У < я/3) = [F (п/2, я/3) —

— F(n/6, я/3)]~[F (я/2, я/4)-/1 (я/6, я/4)] = = [6in (я/2) sin (я/3) —sin (я/6) sin (я/3)] —[sin (я/2) sin (я/4)

— sin (я/6) sin (я/4)] = [ /"3/2 — У~3/4] — [ /"2/2 — /1/4]