§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы слу­чайных величин X и У, легко найти вероятность того, что в результате испыта­ния случайная точка попа­дает в полуполосу х_% < X < <*₂ и У < у (рис. 14, а) или в полуполосу Х<х и j/,<F<t/₂ (рис. 14, б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (^xz'i У) вероятность попада­ния точки в квадрант с вер­шиной (х{, у) (рис. 14, а), по­лучим

Аналогично имеем ^Р(Х_<Х, ^<К_<|/2) =

= F (х, у_г) — F (х, у_х). Рис. 14

Таким образом, вероятность попадания случайной °чки в полуполосу равна приращению функции распре-по одному из аргументов.

161

§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15). Пусть урав! нения сторон таковы:

Х = х_и Х = х₃, Y = y_t и К=«/₂.

ность равна F(x₂, y_t) — F (x_lt у_х)):

У		х'Уа)
У.	-та
										D(xs'tyA
0

Рис. 15

Найдем вероятность по­падания случайной точки (X; У) в этот прямоуголь­ник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности по­падания случайной точ­ки в полуполосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна

честь вероятность попада­ния точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероят-

—F(x_x, у_г)]-

Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х—п/6, *=л/2, y = n/i> у = п/3, если известна функция распределения

F(x, y) = sinxs\n

Хх=л/6, х₂ = я/2, J/i=n/4, «/₂ =

Решение. Положив в формуле (*), получим

162

Р (я/б < X < л/2, я/4 < У < я/3) = [F (п/2, я/3) —

— F(n/6, я/3)]~[F (я/2, я/4)-/¹ (я/6, я/4)] = = [6in (я/2) sin (я/3) —sin (я/6) sin (я/3)] —[sin (я/2) sin (я/4)

— sin (я/6) sin (я/4)] = [ /"3/2 — У~3/4] — [ /"2/2 — /1/4]