§ 1. Понятие о системе нескольких случайных величин

До сих пор рассматривались случайные вели-

ины, возможные значения которых определялись одним

^слом. Такие величины называют одномерными. Напри-

Р> число очков, которое может выпасть при бросании

Ральной кости,— дискретная одномерная величина; рас-

155

стояние от орудия до места падения снаряда — непрерыв. ная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают вели, чины, возможные значения которых определяются двумя тремя, ..., п числами. Такие величины называются соот! ветственно двумерными, трехмерными, . . ., «-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X я У называют состав­ляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматри­ваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично «-мерную величину можно рассмат­ривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, У, Z) определяет систему трех случайных величин X, Y я Z.

Пример. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если конт­ролируемыми размерами являются длина X и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину (X, Y); если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную величину (X, Y, Z).

Двумерную случайную величину (X, Y) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М (X, Y) на плоскости (т. е. как точку со случайными координатами), либо как случайный век-тс р ОМ. Трехмерную случайную величину геометрически можно ис­толковать как точку М (X, Y, Z) в трехмерном пространстве или как вектор ОМ.

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих вели­чин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непре­рывны) многомерные случайные величины.

§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной слу­чайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x_h yj) и их вероятно­стей p(x_h yj)(i=l, 2, .... n; / = 1, 2, .... m). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2).

Первая строка таблицы содержит все возможные зна­чения составляющей X, а первый столбец — все возможные значения составляющей У. В клетке, стоящей на пере­сечении «столбца х,» и «строки г/у», указана вероятность Р (■*;> У/) того, что двумерная случайная величина примет значение (x_h у_}).

Так как события (X=x_h K = {/y)(i=l, 2, ..., ^п' /= 1, 2, . .., т) образуют полную группу (см. гл. II, §2)'

156

сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таб-, равна единице.

Таблица 2

			Л
Y		X				i		*п
Ух	P(*l> Ух)	,<*	, Ух)		Р(х,	, Ух)		Р(хп,	Ух)
...						•		...
У/	P(xx,yj)	Р{хг	.У,)	...	Р(Х(	.У/)		Р(хп,	У/)
...		■•			■ ■	•	...	...
Ут	Р(Хх, Ут)	Р(*2	Ут)		Р(Х(	, Ут)		Р(Хп,	Ут)

Зная закон распределения двумерной дискретной слу­чайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, со­бытия (X=_Xl; Y=y_l), (X=_Xl; Y=y₂), ...,(X=x_l; Y=y_M) несовместны, поэтому вероятность Р (х_г) того, что X при­мет значение x_lt по теореме сложения такова:

P(x_l) = p(x₁, y_t) + p(x_l, y,)+...+p(x_lt yj.

Таким образом, вероятность того, что X примет зна­чение х_х, равна сумме вероятностей «столбца х_хг>. В об-Щем случае, для того чтобы найти вероятность Р(Х=х₍), ^НаДо просуммировать вероятности столбца х_{. Аналогично ^ожив вероятности «строки у-», получим вероятность

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения (табл. 3).

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероят-j\^octh возможных значений Х:Р (х_г) = 0,16; Р (х_г) =0,48; P(x_s)=0,3S. ^апиШем закон распределения составляющей Л':

распределения

X х_г Р 0,16

0,48 0,36

157

Таблиц_а

Y	X ~~ -
			x.
Vl	0,10	0,30	0,20
Уг	0,06	0,13	0,16

Контроль: 0,16 + 0,48 + 0,36 = 1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений У: Р («/i)=0,60; Р (j/₂)=0,4Q. Напишем закон распределения составляющей Y:

У Vi Уг

Р 0,60 0,40 '

Контроль: 0,60 + 0,40=1.