§ 4. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени ^₀=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за время длитель­ностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F {t)=P (T <0 определяет вероятность отказа за время длитель-ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью /, т. е. вероятность пр⁰' тивоположного события Т > t, равна

152

функцией надежности R (t) называют функцию, опре­деляющую вероятность безотказной работы элемента за рремя длительностью t:

R(t) = P(T>t).

§ 5. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

f (0 = 1 — е~".

Следовательно, в силу соотношения (*) предыдущего па­раграфа функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

# (0 = 1 — F (0 = 1 — (1 — е-¹') = е-".

Показательным законом надежности называют функ­цию надежности, определяемую равенством

где К—интенсивность отказов.

Как следует из определения функции надежности (см. § 4), эта формула позволяет найти вероятность без­отказной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t, если время безотказной работы имеет, показа­тельное распределение.

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02e-°.°^2< при /S&0 (t — время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Решение. По условию, постоянная интенсивность отказов ^ = 0,02. Воспользуемся формулой (ч-):

/?(100)=е-° ^{02 100}=е-² = 0,13534.

. Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно °0 ч, приближенно равна 0,14.

Замечание. Если отказы элементов в случайные моменты еи образуют простейший поток, то вероятность того, что за длительностью t не наступит ни одного отказа (см. гл. VI, § 6),

P_t(0) = e-^w,

^огласуется с равенством (*), поскольку X в обеих формулах один и тот же смысл (постоянная интенсивность отказов).

, 153

§ 6. Характеристическое свойство показательно,, закона надежности

Показательный закон надежности весьма про_с. и удобен для решения задач, возникающих на практик^ Очень многие формулы теории надежности значительна упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обд_а> дает следующим важным свойством: вероятность безощ] казной работы элемента на интервале времени длитесь, ностью t не зависит от времени предшествующей работу до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивно, сти отказов К).

Для доказательства свойства введем обозначения со­бытий:

А—безотказная работа элемента на интервале (О, /_О) длительностью t₀; В—безотказная работа на интервале (^о> ^о + О Длительностью t. Тогда АВ—безотказная ра-бота на интервале (0, t_o + t) длительностью t_o + t.

Найдем вероятности этих событий по формуле (#) (см. § 5):

Р (АВ) = е~^к <'«^+<) = е~^м«е~^м.

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале (/„, t_o + t) при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале (0, t₀) (см. гл. Ill, § 2):

_Р(А) - _e-xt₀ ~^е •

Полученная формула не содержит t₀, а содержит только /. Это и означает, что время работы на предшест­вующем интервале не сказывается на величине вероятно­сти Сезотказной работы на последующем интервале, ^а зависит только от длины последующего интервала, что и требовалось доказать.

Полученный результат можно сформулировать несколь' ко иначе. Сравнив вероятности Р (В) = е~^м и P_/4(6) = e"^W' заключаем: условная вероятность безотказной работы мента на интервале длительностью /, вычисленная в пр положении, что элемент проработал безотказно на пр^е#' шествующем интервале, равна безусловной вероятности-

154

замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством только показательное распределение. Поэтому если на й й б

0т, в случае показательного закона надежности _тказная работа элемента «в прошлом» не сказывается величине вероятности его безотказной работы «в бли- JJ будущем».

адает рр

кгике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то ^я распределена по показательному закону. Например, при допу-⁰ нии, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во ^емен'и, вероятность попадания метеорита в космический корабль ^в'⁾ зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль ^Нв начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, слу­чайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль ^определены по показательному закону.

Задачи

1. Написать функцию распределения F (х) и плотность вероятности f (х) непрерывной случайной величины X, распределен­ной по показательному закону с параметром К = 5.

Отв. /(х) = 5е-⁵* при хЗгО; f(x)=O при х < 0; F (х) = 1— е-**.

2. Непрерывная случайная величина X распределена по пока­ зательному закону. / (х)=5е-^Б* при х^=0, /(х)=0 при х < 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интер­ вал (0,4, 1).

Отв. Р(0,4 < X < 1) = 0,13.

3. Непрерывная случайная величина X распределена по показа­ тельному закону f (x) = 4e~^ix (х > 0). Найти математическое ожида­ ние, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Отв. М(Х)=а(Х) = 0,25; D (Х)= 0,0625.

4. Время безотказной работы элемента распределено по показа­ тельному закону / (/) = 0,01 e-°.^olf (t > 0), где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Отв. R (100) = 0,37.

Глава четырнадцатая

СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН