§ 1. Определение показательного распределения

Показательным (экспоненциальным) называют _асПределение вероятностей непрерывной случайной вели- X. которое описывается плотностью

f(x\ =

%е-ь* при

где

— постоянная положительная величина. д видим, что показательное распределение опреде­ляется одним параметром к. Эта особенность показа­тельного распределения указывает на его преимущество

f(x)

о

Рис. 12

по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока (см. § 5).

Найдем функцию распределения показательного закона (^см. гл. XI, § 3):

F(_X)= J f(x)dx Итак,

^{при Х<0}'

при

149

Мы определили показательный закон с помощью пло_т, ности распределения; ясно, что его можно определить" используя фУ^нки.^ию распределения. '

Графики плотности и функции распределения показа. тельного закона изображены на рис. 12.

Пример. Написать плотность и функцию распределения показа, тельного закона, если параметр А, = 8.

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

/(*) = 8е-⁸* при хгэО; /(дг) = О при х < 0. Искомая функция распределения

F(x) — l— е-⁸* при *SaO; F(*) = O при х < О.

§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

F(x) = l— е-*

Используем формулу (см. гл. X, § 2, следствие 1) P(a<X<b) = F(b)-F(a).

Учитывая, что F(a) = I— e"**, F(Ь) = I— е~^м, получим Р(а< X <Ь)=е-*^а— е-**. (*)

Значения функции е~* находят по таблице.

Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

/^:(х) = 2е-2« при *5з0; f(x) = O при х < 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания К попада^еТ

в интервал (0,3, 1). ,.

Решение. По условию, Х — 2. Воспользуемся формулой (*>'

P(0,3<X<l) = e-(²-⁰-³)-e-(²-¹⁾=e-°.⁶-e-² = = 0,54881 —0,13534 =*« 0,41.

150

§ 3. Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина X рас-i _еделена по показательному закону

{ О при х < О,

Хе-ь* при х>0.

Найдем математическое ожидание (см. гл. XII, § 1):

00

М (X) = 5 х/ (a:) d* = о

Интегрируя по частям, получим

М{Х)=М%. (*)

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра X. Найдем дисперсию (см. гл. XII, § 1):

О (X) = J хЦ (х) dx—[M (X)]² = Я J х²е-**<&— I/A². о о

Интегрируя по частям, получим

00

Я $ *²e-^x*dx = 2Д². о

Следовательно,

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

(**) Сравнивая (*) и («■*), заключаем, что

о*^{6 Матемагпическое} ожидание и среднее квадратическое _Со?^Л?^нение показательного распределения равны между

Пока, Р^имеР- Непрерывная случайная величина X распределена по , "дельному закону

/(х) = 5е-&* при х^О; f(x)=O при х < 0.

151

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Решение. По условию, ?i = 5. Следовательно,

М(Х)=о(Х)=1/к = 1/5 = 0,2; D(X)=1A²=1/5² = O,O4.

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр Я, неизвестен Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю х (см. гл. XVI, § 5). Тогда приближенное зна­чение параметра X находят с помощью равенства

к* =1/1.

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтсбы проверить эту гипотезу, Находят оценки математического ожидания и среднего квадратического откло­нения, т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение (см. гл. XVI, § 5, 9). Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного рас пределения равны между собой, поэтому их оценки должны разли­чаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к дру­гой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надеж­ности.