§ 13. Распределение «хи квадрат»

Пусть X;(i= 1, 2, ..., /г)—-нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи-Аание каждой из них равно нулю, а среднее квадрати-^ческое отклонение — единице. Тогда сумма квадратов ^Эти* величин

145

распределена по закону х² («^хи квадрат») с k = n степе, нями свободы; если же эти величины связаны одним л^ нейным соотношением, например 2 X,- = пХ, то число степеней свободы k = п — 1.

Плотность этого распределения

(О при x^ZO,

_ _е/ _x(/)

00

где Г (х) = \ t*'¹ e~^f dt — гамма-функция; в частности, о

_1 _е-*/2 _x(ft/2)-i _Пр_{И х >} о

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» опре­деляется одним параметром — числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

§ 14. Распределение Стьюдента

Пусть Z—нормальная случайная величина, причем M(Z) — 0, a(Z) = l, a V — независимая от Z величина, которая распределена по закону %² с k степенями сво­боды. Тогда величина

Т = ^Z (*)

имеет распределение, которое называют /-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Допол­нительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XVI, § 16).

146

§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора

Если U и V—независимые случайные величины,

_сГ1ределенные по закону %² со степенями свободы k_x и k_i3

величина

"

распределение, которое называют распределением F фяШ^еР^а—Снедекора со степенями свободы k_t и k₂ (иногда _г0 обозначают через V²). Плотность этого распределения

О при

Ik +h W2 ^ПР^И

где

М ы видим, что распределение F определяется двумя пара­метрами— числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8).

Задачи

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, зная ее плотность распределения: '1

а) /(*)= 7= ^ПР^И —1 <х< 1, f(x)=O при остальных

я у 1 — х²

значениях х;

б) /(■*) = -пГ7 ^ПР^{И а} — '<*<я + Л f(x) = O при остальных зна­ чениях X.

Отв. а) М(Х) = 0, D(X) = l/2; б) М(Х) = а, D(X) = l²/3.

2. Случайная' величина X распределена нормально. Математи­ческое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины ^ответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в резуль-^ате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,8).

Отв. 0,6826.

³- Случайная величина распределена нормально. Среднее квад-тог^{Ическое} отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность д °> что отклонение случайной величины от ее математического ожи-^ния по абсолютной величине будет меньше 0,3.

°тв. 0,5468.

147

4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закон», со средним квадратическим отклонением а=1 мм и математически 1 ожиданием я —0. Найти вероятность того, что из двух независимы!! наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсо лютной величине 1,28 мм.

Отв. 0,96.

5. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными если отклонение диаметра валика от проектного размера не превы! шает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением а = 1,6 щ и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат?

Отв. Примерно 79%.

6. Дискретная случайная величина X задана законом распреде. ления:

а) X 1 2 3 б) X —1 J 2

р 0,2 0,1 0,7 р 0,1 0,2 0,7

Найти закон распределения случайной величины Y—X*. Отв. а) К 1 16 81 б) К 1 16

р 0,2 0,1 0,7 р 0,3 0,7

7. Непрерывная случайная величина X задана плотностью рас­ пределения f (x). Найти дифференциальную функцию g (у) случайной величины Y, если:

а) У = Х4 1 (— оо < х < оо); б) К=2А"(— о < х < а). Отв. a) g (y) = f (у— 1) (— оо < у < оо); б) g(y) = i-f(^-)(-2a<y <2a).

8. Независимые дискретные случайные величины заданы следую­ щими законами распределения:

X 2 3 5 К 1 4

р 0,3 0,5 0,2 р 0,2 0,8

Найти законы распределения функций: a) Z — X-\-Y\ б) Z — XY. Отв. a) Z 3 4 6 7 9 р 0,06 0,10 0,28 0,40 0,16

б) Z 2 3 5 8 12 20 р 0,06 0,10 0,04 0,24 0,40 0,16

9. Независимые случайные величины X и К заданы плотностями распределений

/iW=je-*" (0<*<оо);

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределени" случайной величины Z = X-\-Y.

Отв. g(z) = \ *

\ 0 при г < 0.

148

Глава тринадцатая ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ