§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Задана функция Y — ср (X) случайного аргумента X. Требуется найти математическое ожидание этой функ­ции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент X—дискретная случай­ная величина с возможными значениями х_г, х₂,..., х_п, вероятности которых соответственно равны р_г, р₂, ..., р_п. Очевидно, Y—также дискретная случайная величина с возможными значениями у_л = ср (л:,), у₂ = ср (л;_а), ■ .., у_п = ^ФС^п)- Так как событие «величина X приняла значе­ние X/» влечет за собой событие «величина У приняла значение ср (х,)», то вероятности возможных значений У со­ответственно равны р_х, р₂, ..., р_п. Счедовательно, мате­матическое ожидание функции

2ф(

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением

X I 3 5

р 0,2 0,5 0,3

141

Найти математическое ожидание функции К = ф (Х)

Решение. Найдем возможные значения Y: ^

ф(1)=12_|_1=2; ф(3) = 3²+1 = 10;

_ф(5) = 5²+1=26. Искомое математическое ожидание функции Y равно

М[Х²+1] = 2-0,2+ 10-0,5 + 26.0,3= 13,2.

2. Пусть аргумент X— непрерывная ел у. чайная величина, заданная плотностью распределе­ния / (л:). Для отыскания математического ожидания функции У=ср(Х) можно сначала найти плотность рас-пределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой

= ]yg(y)dy.

Однако если отыскание функции g(y) является затруд. нительным, то можно непосредственно найти математиче­ское ожидание функции ф (X) по формуле

M[<t{X)]= l<p(x)f(x)dx.

В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь), то

ь

Жс. (**)

Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (*), если заменить суммирова­ние интегрированием, а вероятность—элементом вероят­ности / (х) Ах.

Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана плот­ностью распределения /(x) = sinx в интервале (0, я/2); вне этого интервала f(x) = O. Найти математическое ожидание функции К = _Ф(Х) = Х².

Решение. Воспользуемся формулой (**). По условию, / (х) =* "= sin х, (f(x)=x², a —0, Ь = л/2. Следовательно,

Я/2

М[ф(Х)]= ^ x*sinxdx.

о Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидани^е

Л1[Х^а] = л — 2. 142

§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

Если каждой паре возможных значений случай-_lX величин X и Y соответствует одно возможное зна­ние случайной величины Z, то Z называют функцией случайных аргументов X и Y:

Далее на 'примерах будет показано, как найти рас­пределение функции Z = X-{-Y по известным распреде­лениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X — погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y— погрешность округления показаний до ближайшего деле­ния шкалы (распределена равномерно), то возникает задача — найти закон распределения суммы погрешностей Z = X + Y.

1. Пусть X и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

X 1 2 К 3 4

р 0,4 0,6 р 0,2 0,8

Составить распределение случайной величины Z = X + K.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возмож­ного значения X со всеми возможными значениями Y:

г₁=1+3 = 4; г_а =

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы '—4, достаточно, чтобы величина X приняла значение ^=1 и величина Y — значение y_l = 3. Вероятности этих возможных значе-^нии, как следует из данных законов распределения, соответственно Равны 0,4 и 0,2.

Аргументы X и Y независимы, поэтому события Х—1 и К = 3 Зависимы ^и. следовательно, вероятность их совместного наступле-^Ия (т. е. вероятность события Z= 1+3 = 4) по теореме умножения Равна 0,4.0,2 = 0,08. Аналогично найдем:

P(Z= 1+4 = 5) =0,4.0,8 = 0,32; Р (Z = 2 + 3 = 5) = 0,6.0,2 = 0,12; = 6)=0,6.0,8 = 0,48.

143

Напишем искомое распределение, сложив предварительно ности несовместных событий Z = z₂, 2 = z₈ (0,32 -f- 0,12 = 0,44):

Z 4 5 6

р 0,08 0,44 0,48

Контроль: 0,08 + 0,44+0,48=1.

2. Пусть X и Y — непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (— сю, сю) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства

g(2)= J f_l(x)f₂(z-_X)dX (*)

— 00

либо с помощью равносильного равенства

со

g(z)= \f_x(z—y)f_t(y)dy, (**)

— ОО

где f_lt f₂ — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле

г

g{z)=[fx(x)f₂(z—x)dx_t (***)

о

либо по равносильной формуле

г

S(2)=\f₁(z — y)f_t (у) dy. (****)

о

Плотность распределения суммы независимых случай­ных величин называют композицией.

Закон распределения вероятностей называют устой­чивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормаль­ный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распреде­ление (математическое ожидание и дисперсия этой ком­позиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X ^и У— независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и диспер'

144

_яМи, соответственно равными 0^ = 3, я₂ = 4, D₁—l, ^СХ = 0,5, то композиция этих величин (т. е. плотность

роятности суммы Z = X + Y) также распределена нор- ^яльно, причем математическое ожидание и дисперсия м соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D=l-{-

Пример 2. Независимые случайные величины X и Y заданы яотностями распределений:

/(x)=-g-e-*^/3 (0<*<оо);

а композицию этих законов, т. е. плотность распределения слу­чайной величины Z=X + K.

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (***)

Заметим, что здесь г^О, так как Z = X-\-Y и, по условию, воз­можные значения X и К неотрицательны.

Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что

В следующих далее параграфах кратко описаны рас­пределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики.