§ 7. Правило трех сигм

Преобразуем формулу (см. § 6)

положив б = ot. В итоге получим Р(\Х— а|<аО = Если ( = 3 и, следовательно, ot = 3o, то • Р (| X—а | < За) = 2Ф (3) = 2 • 0,49865 = 0,9973,

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолкггн⁰ величине будет меньше утроенного среднего квадрат¹*⁴ ского отклонения, равна 0,9973.

134

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее радратическое отклонение, очень мала, а именно равна О 0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может Произойти. Такие события исходя из принципа невозмож­ности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех _сцгм: если случайная величина распределена нормально, ,ло абсолютная величина ее отклонения от математиче­ского ожидания не превосходит утроенного среднего квад-ратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, _н0 условие, указанное в приведенном правиле, выпол­няется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случай­ные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдаю­щимся русским математиком А. М. Ляпуновым (централь­ная предельная теорема): если случайная величина X пред­ставляет собой сумму очень большого числа взаимно неза­висимых случайных величин, влияние' каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение изме­ряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, важность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную "Частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень ^елико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммар-^нУю ошибку».

_4i Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого _Чт^СЛа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, q° суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. ^Ь1Т подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной тео-* ^мы, которая устанавливает условия, при которых сумма

135

большого числа независимых слагаемых имеет распреде­ление, близкое к нормальному.

Пусть X_lt Х₂, . . ., Х„, ■ ■ .— последовательность неза­висимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(X_k)=a_k, D(X_k) = bl Введем обозначения:

к— 1

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Говорят, что к последовательности Л\, Х₂, . .. приме­нима центральная предельная теорема, если при любом л:функция распределения нормированной суммы при п —<- оо стремится к нормальной функции распределения:

_x\ = -±= Г

HmP

В частности, если все случайные величины X_t, X₂,---одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если диспер­сии всех величин X_l(i = l, 2, ...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для б > 0 при п —► оо отношение Ляпунова

_n где С„=2 M\X_k-~a_k\

fc= i

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последова­тельности Х_х, Х₂, ■. ■ применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требования, чтобы каждое слагаемое суммы (S_n — А_п)/В_п оказывало на сумму ничтожное влияние.

Замечание. Для доказательства центральной предельной тео­ремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических фУ^нК_т ций. Характеристической функцией случайной величины X называв функцию ф (t) =M [e^itx].

136

**

Для дискретной случайной величины X с возможными значениями _и их вероятностями рь характеристическая функция

для непрерывной случайной величины X с плотностью распре-¹ ления / (-f) характеристическая функция

Ф(О=

Можно доказать, что характеристическая функция суммы неза­висимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.