§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и а.

/М

Известно, что графики функций f (х) и / {х—а) имеют одинаковую форму; сдвинув график / (х) в положитель­ном направлении оси х на а единиц масштаба при а > О или в отрицательном направ­лении при а < 0, получим график f {х—а). Отсюда сле­дует, что изменение величины параметра а (математиче­ского ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а _ убывает.

Рис. 8

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр о

(среднее квадратическое отклонение). Как было указано ^в предыдущем параграфе, максимум дифференциальной Функции нормального распределения равен \/{аУ2п). Отсюда следует, что с возрастанием о максимальная орди' ^но.та нормальной кривой убывает, а сама кривая стано-^вчтся более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при Убьшании о нормальная кривая становится более «остро-^веРшинной» и растягивается в положительном направле-*"« оси Оу.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а ° площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, _п ^Тается равной единице (см. гл. XI, § 4, второе свойство *>"' распределения).

131

На рис. 8 изображены нормальные кривые при раз­личных значениях а и а = 0. Чертеж наглядно иллюстри­рует, как изменение параметра а сказывается на форме нормальной кривой.

Заметим, что при а == 0 и а = 1 нормальную кривую

ф(х) = -/=е-^дг1/2 называют нормированной.

§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения / (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Р), такова:

_ *

Пусть случайная величина X распределена по нор­мальному закону. Тогда вероятность того, что X примет .значение, принадлежащее интервалу (а, Р), равна

Р (а < X < Р) - -4= V е-<*-«>'/<"•> Ах.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую пере­менную z~(x—а)/а. Отсюда x — oz-\~a, dx = odz. Найдем новые пределы интегрирования. Если х~а, то z=(a—а)/о; если х = Р, то z = (P—а)/о.

Таким образом, имеем

_{^ 5 •-}

(a-a)fa

( a-a)/a ' 0

(P-a)/a (a-a)'a

1

132

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

Р (а < X < Р) = Ф (^-^а) _Ф

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое откло­нение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероят­ность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию, а =10, Р = 50, а = 30, а=10, следовательно,

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда^ иско­мая вероятность

Р(Ю < X < 50) = 2-0,4772 = 0,9544.

§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины X по абсолютной величине меньше заданного по­ложительного числа б, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства \Х—а|<б.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

— 6<Х—а<8, или а —6<Х<а + б. Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

П риняв во внимание равенство

Ф( — б/о) = — Ф(б/а) (Функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

Р(\Х — а |< б) = 2Ф (б/а). ^ частности, при а = 0

Р {| X |< б) = 2Ф (б/а).

133

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (— 6, 6)_>

больше у той величины, кото! рая имеет меньшее значение а. Этот факт полностью соответ­ствует вероятностному смыслу параметра а (о есть среднее квадратическое отклонение;оно характеризует рассеяние слу­чайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, со­бытия, состоящие в осуществлении неравенств | Л^ — а | < б и \Х—а|^ Si б, — противоположные. Поэтому,

если вероятность осуществления неравенства \Х— а\ < б равна р, то вероятность неравенства |Х — а | ^ б равна 1—р.

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Мате­матическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соот­ветственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех. Решение. Воспользуемся формулой

Р(\Х — а\ < 6) = 2Ф(6/а). По условию, 6 = 3, а = 20, а=10. Следовательно,

Р(|Х — 20 | < 3) = 2Ф (3/10) =2Ф (0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф (0,3) = 0,1179. Искомая вероятность

Р (\Х — 201 < 3) =0,2358.