§ 2. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятно­стей непрерывной случайной величины, которое описы­вается плотностью

М ы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и а. Достаточно знать эти пара­метры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, а — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непре­рывной случайной величины,

М(Х)= {xf(x)dx^-4= f J ay 2л J

4= y 2л

введем новую переменную z = (x—a)/a. Отсюда x = ,

^a3c=:zodz. Приняв во внимание, что новые пределы инте-

127

грирования равны старым, получим

ос

М (X) = ° С а у 2л J

— 0

СО

V2n J

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграл^ нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых

равно а ( интеграл Пуассона J e-*'^/2dz = y 2я ).

Итак, М (X) — а, т. е. математическое ожидание нор. мального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М {X) = а, имеем

Введем новую переменную z = (x—а)/а. Отсюда х—а = аг, dx — odz. Приняв во внимание, что новые пределы инте­грирования равны старым, получим

Интегрируя по частям, положив и —г, dv = ге~²*^/2 dz, найдем

Следовательно,

о (X) = УЩХ) = Vo* = а.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру а.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и а (о > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с парам^ рами а = 0 и о=1. Например, если X — нормальная величина с пар³' метрами а и о, то U — (X — а)/а—нормированная нормальная вели' чина, причем M(U) — 0, o{U) — U

128

Плотность нормированного распределения

Ч та функция табулирована (см. приложение I).

Замечание 2. Функция F(х) общего нормального распреде­ления (см. гл. XI, § 3)

X

= С _e-<²- 2зГ J

_a функция нормированного распределения

X

ф ункция f о (^х) табулирована. Легко проверить, что

F(x) = F₀((x—a)/o).

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нор­мальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь

X

функцией Лапласа Ф (*)£=_₇₌₌. \ е~^г"^/2 dz. Действительно (см. гл. XI, § 2),

X X

Р (0 < X < *)= Г _Ф(ж) ^ = -7^ f

СО

Замечание 4. Учитывая, что \ <p(x)dx=i (см. гл. XI, §4,

— со

свойство 2), и, следовательно, в силу симметрии ф (х) относительно нуля

о J fp(x)dx = 0,5, а значит, и Р (— оо < X < 0)=0,5,

— 00

•"^егко получить, что

F₀(x)=0,5 + O(x). ■Действительно,

foW = P(—«, < X <х) = Р(-<*> < X <0) + Р(0<Х <х)*=

= 0,5 + Ф(д:).

129

§ 3. Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

м етодами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

Рис. 7

2. При всех значениях х функция принимает поло­жительные значения, т. е. нормальная кривая располо­жена над осью Ох.

3 Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: lim г/ = 0, т. е.

ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

У' =

Легко видеть, что у'=0 при х — а, у' > 0 при х<а, у' < 0 при х > а.

Следовательно, при х = а функция имеет максимум,

равный \/(oty^r2n).

5. Разность х—а содержится в аналитическом выра­ жении функции в квадрате, т. е. график функции сим­ метричен относительно прямой х — а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

. _е-(дг-а)»/(2а») |1 —

130

Легко видеть, что при х = а-\-о и х — а—о вторая _|Оцзводная равна нулю, а при переходе через эти точки _а меняет знак (в обеих этих точках значение функции _вНо 1/{а]/~2ле)). Таким образом, точки графика (а—а, и (a-{-a, \/(o\^r2nt)) являются точками пе­региба. ^v На рис. 7 изображена нормальная кривая при а=\

о

И О