§ 1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Распространим определения числовых характе­ристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания.

Пусть непрерывная случайная величина X задана плот­ностью распределения / (х). Допустим, что все возможнЫ^е

124

_начения X принадлежат отрезку [а, Ь]. Разобьем этот ^З_трезок на п частичных отрезков длиной Д.*^, Дх'_а, ..., Ах_п °, выберем в каждом из них произвольную точку х₍ ! = 1, 2, . .., п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискрет­ной; составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал Ax_t (напом­ним, что произведение / (х) Ах приближенно равно вероят­ности попадания X в интервал Да;):

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наи­большего из частичных отрезков, получим определенный ь

интеграл \xf(x)dx.

а

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, Ь\, называют определенный интеграл

ь M(X)=]xf(x)dx. (»)

а

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

со

М(Х)-= [xf(x)dx. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсо-

99

лютно, т. е. существует интеграл J | x \ f (x) dx. Если бы

это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) ниж­него предела к —оо, а верхнего—к +°°.

По аналогии с дисперсией дискретной величины опре­деляется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. |. Если возможные значения X принадлежат отрезку 1°. Ь], то

ь

125

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

со

D(X)= J [x-M(X)]*f(x)dx.

— 00

Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу. чайной величины определяется, как и для величины диск, ретной, равенством

З амечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непр_е. рывных величин.

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

6 D (X) = J я*/ (*) dx- [М (Х)}\ (**)

Пример 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случай­ной величины X, заданной функцией распределения

{О при х <; О, х при 0 < х< 1, 1 при х > 1.

Решение. Найдем плотность распределения:

!0 при х<0,

1 при 0 < х < 1. О при х > 1.

Найдем математическое ожидание по формуле (*):

1 1

Af (X) = С х-1 -dx = x²/2 I = 1/2. o^J i

Найдем дисперсию по формуле (**):

1 1

о о

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию непрв' рывной случайной величины X, распределенной равномерно в интер' вале (а, Ь).

Решение. Найдем математическое ожидание X по формуле (*)-учитывая, что плотность равномерного распределения /(*) = \Цр — °'

126

/ш гл. XI, § 6):

M(X)={xf(x)dx^_jrL

пополнив элементарные выкладки, получим

Найдем дисперсию X по формуле (**): Ь ь

D (X) = j *«/ (х) dx-Ш (X))* =

^j

Выполнив элементарные выкладки, получим

D(X) = (b — a)²/12.

Замечание 3. Математическое ожидание и дисперсия случай-_ной величины R, распределенной равномерно в интервале (О, О» _т е. если а = 0, 6=1, как следует из примера 2, соответственно равны M(R) = 1/2, D (Я) =1/12. Этот же результат мы получили _в примере 1 по заданной функции распределения случайной вели­чины R.