§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F (х)—функция распределения непрерыв­ной случайной величины X. По определению плотности распределения, / (х) — F' (х), или в иной форме

д * -»- о ^Лх

Как уже известно, разность F{x->rAx)— F (х) опре­деляет вероятность того, что X примет значение, при­надлежащее интервалу (х, х-\-Ах). Таким образом, пре­дел отношения вероятности того, что непрерывная слу­чайная величина примет значение, принадлежащее интер­валу (х, х-\-Ах), к длине этого интервала (при Да'—►О) равен значению плотности распределения в точке х.

По аналогии с определением плотности массы в точке *' целесообразно рассматривать значение функции / (х) в точке х как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция / (х) определяет плотность распределе­ния вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что при­ращение функции приближенно равно дифференциалу ф\нкции, т. е.

F (х + Ах) — F (х) ~ dF (х),

или

F {х + Д*)—F (х) ^ F' {х) dx. Так как F'(x) = f(x) и dx = &x, то

F (х + Да:) — F (х) ~ / (х) Длг.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероят­ность того, что случайная величина примет значение, "Ринадлежащее интервалу (х, х + Ах), приближенно равна (^с точностью до бесконечно малых высшего порядка от­носительно Ах) произведению плотности вероятности в ^т°чке х на длину интервала Ах.

*' Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некото-

назм ^законУ» например F (х), то плотностью р (дс) массы в точке х

ывают предел отношения массы интервала (дс, х-\-&х) к длине

"Урвала при Д* -0. т. е. р₍*)= Um ^ (* + **)-И*).,

bX-+Q &X

121

Геометрически этот результат люжно истолковать вероятность того, что случайная величина примет ч_е^ ние, принадлежащее интервалу (х, х + Ах), приближенно

Г(*)
	А	1	в
	/W
0	X	х + дх

равна площади прямоуголь. ника с основанием Ах и вы. сотой / (х).

Рис. 5

На рис. 5 видно, что пло. щадь заштрихованного пря. моугольника, равная произве-дению / (х) Ах, лишь прибли-женно равна площади криво-линейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом

f(x)dx). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника ABC.

§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практи­ка, приходится сталкиваться с различными распределе­ниями непрерывных случайных величин. Плотности рас­пределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, на­пример, законы равномерного, нормального и показатель­ного распределений. В настоящем параграфе рассматри­вается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены сле­дующие две главы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непре­рывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в не­которых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину %• которая может принимать с постоянной плотностью вероятности л¹^' бое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким °⁶' разом, X имеет равномерное распределение.

122

Найдем плотность равномерного распределения /(*)> считая, что рее возможные значения случайной величины заключены в интерва­ле (а, Ь), на котором функция / (х) сохраняет постоянные значения:

По условию, X не принимает значений вне интервала (а, Ь), поэтому / (х) = 0 при х < а и х > Ь.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения слу­чайной величины принадлежат интервалу (я, Ь), то должно выпол­няться соотношение

* Ь

\ / (*) d* = 1, или \

а а

Отсюда

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределе­ ния

(О при х^.а,

\1(Ь—а) при a<x<sgb_t

О при х > Ь.

График плотности равномер- . , ного распределения изображен на '"' рис. 6, а график функции распре­ деления— на рис. 4. ■ -~

Замечание. Обозначим че­ рез R непрерывную случайную ве­ личину, распределенную равномер- —jj" но в интервале (0, 1), а через т— ее возможные значения. Be- Рис. 6

роятность попадания величины R

(в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интер­валу (0, 1), равна его длине:

Р (с < R < d) = d~c.

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного рас­пределения

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в ин­тервал (с, d) (см. гл. XI, § 2)

d d

Р(с< R< d) = J/(r)d/-=J \.dr = d~c.

с с

Далее случайная величина /? используется неоднократно (см. гл. XXI).

123

Задачи

1. Случайная величина задана плотностью распределения

(О при х sS — я/2,

a cos х нри — я/2 < х «^ я/2, О при х > я/2.

Найти коэффициент а. Отв. а =1/2.

2. Случайная величина задана плотностью распределения

(О при хе^О,

(sin х)/2 при 0 < х < я, О при * > я.

Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в резуль. тате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (О, я/4).

!0 при х < О,

(1 — cosx)/2 при 0<х<я, 1 при х > я.

8. Случайная величина X задана функцией распределения

(О при х<0, х при 0<x«s£l, 1 при х > 1.

Найти плотность распределения.

Отв. /(х)=1 в интервале (0, 1); вне этого интервала /(х)=0. 4. Случайная величина X задана функцией распределения

(О при * = 0,

(1 — cos х)/2 при 0 < х < я, 1 при х > я.

Отв. / (х) = (sin х)/2 в интервале (0, л); вне этого интервала ) 0

Глава двенадцатая

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ