§ 1. Определение функции распределения

Вспомним, что дискретная случайная величина мо быть задана перечнем всех ее возможных значений _и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, Ь). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х—действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F {х). Разу­меется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F(x), т. е. F (х)—функция от х.

Функцией распределения называют функцию F (х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F{x) = P{X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F{x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непре­рывной случайной величины: случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть ^прерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не-^пРерывной производной.

111

§ 2. Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]:

Доказательство. Свойство вытекает из опреде­ления функции распределения как вероятности: вероят­ность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F(х)—неубывающая функция, т. е.

F (x₂) ^ F (х_х), если х₂ > х_±.

Доказательство. Пусть х₂ > х_г. Событие, состоя­щее в том, что X примет значение, меньшее х₂, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) X примет значение, меньшее x_lt с вероятностью Р (X < jq); 2) X примет значение, удовлетворяющее не­равенству х_г^Х <х₂, с вероятностью Р(х₁^.Х <х₂). По теореме сложения имеем

Р (X < х_а) = Р (X < х,) + Р (_Xl < X < x_t). Отсюда

Р (X < х_г)-Р (X < х,) = P(_Xl^X< x₂), или

Так как любая вероятность есть число неотрицатель­ное, то F(x_a)~F{Xj)~^Q, или F(x_i)^F(x₁), что и тре­бовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале:

P{a<X<b) = F(b) — F(a). (**)

Это важное следствие вытекает из формулы (*), если положить х₂ — Ь и х₁ — а.

Пример. Случайная величина X задана функцией распределения

{О при х<—1;

ж/4+1/4 при —1 < х«£3; 1 при х > 3.

112

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет зна-ие, принадлежащее интервалу (0, 2):

Р (О < X < 2) = F {2) — F (0).

Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию, F(x)=x/4+\/4,

^Т° F (2)-F (0) = (2/4+ 1/4)-(0/4+ 1/4)- 1/2.

Итак,

Р(0 < X < 2) = 1/2.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле (**) a = x_lf b = x_t-\-+ Дх, имеем

Р (х, < X < х, + Ах) = F (x_t + &x)—F {x,).

Устремим Дх к нулю. Так как X — непрерывная случай­ная величина, то функция F (х) непрерывна. В силу непрерывности F(х) в точке х_г разность F (x_t-\- Ах) — F (х_х) также стремится к нулю; следовательно, Р(Х = х₁) = 0. Используя это положение, легко убедиться в справедли­вости равенств

Р (а<Х <&) = Р (а < X <&) =

(***)

Например, равенство Р (а < Х^Ь) =Р(а < X < Ъ) доказывается так:

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рас­сматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть Даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответ­ствует требованиям практических задач. Например, инте­ресуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса ⁰ вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что ра-^с нулю вероятности Р (X =Xj) означает, что событие J/^^i невозможно (если, конечно, не ограничиваться Дассическим определением вероятности). Действительно, Результате испытания случайная величина обязательно

113

примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х_г.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,Ь), то: 1) /^г(х) = о при х^а; 2) F (х) = 1 при х^Ь.

Доказательство. 1) Пусть х_г^.а. Тогда событие X < х_г невозможно (так как значений, меньших x_lt вели­чина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х₂^Ь. Тогда событие X < х_г достоверно (так как все возможные значения X меньше х₂) и, сле­довательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то спра­ведливы следующие предельные соотношения:

lim F (х) = 0; lim F (х) = 1.

*->■ —00 Х-»-СО