§ 6. Теорема Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положитель­ный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Яко­бом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая полу­чила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебы-шевым в 1846 г.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым,'если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если е—сколь угодно малое поло­жительное число, то при соблюдении условий теоремы

108

имеет место равенство

Ига Р(\т/п— р\ < е) = 1.

Доказательство. Обозначим через Х_х дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через Х_г — во втором АГ„ — в п-м испы­ тании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью I— P = q-

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены. Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин Х_и Х_г, ..., Х_п следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины X, (i = 1, 2, ..., п) равна произведению рд *'; так как p-\-q— 1, то произве­дение pq не превышает **> 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4.

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем

lim

n-f go

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Х_{ (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события (см. гл. VII, § 2, пример 2), получим

lim Р (| (Х_х -t- Х₂ + • • ■ + Х_п)[п — р |< е) = 1.

Остается показать, что дробь (X_t + Х„ + - •. + Х„)/п равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин Х_г, X_t, .... Х„ при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следо-

* > Это следует из § 6 гл. VIII, если принять я=1.

**> Известно, что произведение двух сомножителей, сумма ко­торых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при .ра­венстве сомножителей. Здесь сумма р,--*-<?/== 1, т. е. постоянна, поэто­му при р₍=^=1/2 произведение р;д/ имеет наибольшее значение и Равно J/4.

109

вательно, сумма Х_х + X_s + • • • + Х„ равна числу т по. явлений события в п испытаниях, а значит,

Учитывая ьто равенство, окончательно получим lim Р(\т/п—р|<е) = 1.

Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относитель­ная частота неуклонно стремится к вероятности р; другими словами из теоремы Бернулли не вытекает равенство hm (m/n) = p. В тео!

я-»-«о

реме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каж­дом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты т/п к веро­ятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности»*'. Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если т/п стремится при п —*■ оо к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некото­рого n = N и для всех последующих значений п неуклонно выпол­няется неравенство | т/п—р | < е; если же т/п стремится по веро­ятности к р при п—>-оо, то для отдельных значений п неравенство может не выполняться.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при п —»- оо относи­тельная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли записывают так:

т вер

-П~п^^Р-

Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности <см. гл. I, § 6—7).

Задачи

1. Сформулировать и записать теорему Чебышева, исполь­зуя понятие «сходимости по вероятности».

2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х — М (Х)\ < 0,1, если D(X) = 0,001.

Отв. Р^0,9.

3. Дано: Р(\ X — М (X) | < e)s*0,9; D(X)=0,004. Используя неравенство Чебышева, найти е.

Отв. 0,2.

* > Последовательность случайных величин Х\, Х₂, ... сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого е > 0 вероятность неравенства \Х_п — Х|<е при п—»-оо стремится к единице.

ПО

Глава десятая

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ