§ 3. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если X_lt Х₂, , Х_п, ...—

попарно независимые случайные величины, причем диспер-^сии их равномерно ограничены (не превышают постоян­ного числа С), то, как бы мало ни было положительное ^цисло е, вероятность неравенства

М (Xj) -f- M (Х₂) -f-...-)- М (Х^) .

к ак угодно близка к единице, если число случайных достаточно велико.

103

Другими словами, в условиях теоремы

hm P —^— —-—•

М (XJ + M (Х₂)+ . .. +М (Х_п) п

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число незави­симых случайных величин, имеющих ограниченные ди­сперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их ма­тематических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание X. Пользуясь свой­ствами математического ожидания (постоянный множи­тель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математи­ческих ожиданий слагаемых), получим

. .. +Х„ \ ^ М (XJ + M (XJ+...+M (Х_п) ^

Применяя к величине X неравенство Чебышева, имеем

и ли, учитывая соотношение (*),

:₁ + х₈+--.+А"„

п (Х_г)+... + М(Х_п)

п

п ,

L (*•)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множи­тель можно вынести за знак дисперсии, возведя егР

104

₀ квадрат; дисперсия суммы независимых случайных ве­личин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

_D / Хг + Х_% + ...+Х„\ __ D \ п )

По условию дисперсии всех случайных величин огра­ничены постоянным числом С, т. е. имеют место нера­венства: D (Л^ХС; D (Х₂) < С; ...; D (Х„) < С, поэтому

Итак,

Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

_•(I*

n M(X_l) + M(X₂)+...+M(X_n)\

n I

п М (XJ -f- М (Х_г) -f-...-(- М (Х_п)

Отсюда, переходя к пределу при п — оо, получим Нш р ( I *si ^v

/ V \ 1 I АЛ / V \

<е

г»

Наконец, учитывая, что вероятность не может пре­вышать единицу, окончательно можем написать

lim

<е =

Теорема доказана.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предпола­гали, что случайные величины имеют различные матема­тические ожидания. На практике часто бывает, что сл>-чайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что диспер­сии этих величин ограничены, то к ним будет применима ^теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из слу-^Чайных величин через а; в рассматриваемом случае сред-

Ш5

нее арифметическое математических-ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать тео. рему Чебышева для рассматриваемого частного случая. Если Х_х, Х₂, ..., Х_п ,... —попарно независимые случай, ные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число е > 0, ве­роятность неравенства

б удет как угодно близка к единице, если число случай­ных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

lim P

я-к»