§ 1. Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно пред­видеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих слу­чайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы распо­лагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некото­рых сравнительно широких условиях суммарное поведе­ние достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится законо­мерным.

Для практики очень важно знание условий, при вы­полнении которых совокупное действие очень многих слу­чайных причин приводит к результату, почти не завися­щему от случая, так как позволяет предвидеть ход явле­ний. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

§ 2. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискрет­ных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для диск­ретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, задан-^ную таблицей распределения:

X х_х х₂ .. . х_п

Р Рг Рг ••• Рп

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, Что отклонение случайной величины от ее математического

101

ожидания не превышает по абсолютной величине поло, жительного числа г. Если е достаточно мало, то мы оце­ним, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяю­щее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положитель­ного числа е, не меньше, чем 1 — D(X)/e²:

Р (| X—М (X) |< е) > 1 — D (Х)/е^а.

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х—М (Х)|<еи|Х—М (Х)|^е, противоположны, то сумма их вероятностей равна еди­нице, т. е.

Р(|Х-М(Х)1<е)+Р(|Х-М(Х)|>е) = 1. Отсюда интересующая нас вероятность

Таким образом, задача сводится к вычислению вероят­ности Р (| X—М(Х) | > е).

Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

D (X) =|A-M (X)]*_Pl + [х₂-М (X)l* р_а+ ... ...+[х_п-М(Х)]*_Рп.-

Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |х,-—Л4(Х)|<е (для оставшихся слагаемых \х_;-—М(Х)|^е), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся счи­тать для определенности, что отброшено k первых сла­гаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таб­лице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D(X)>[x_k+1-M (X)]*p_k+1 + [x_k+2-M (X)]*p_ft+2+ ... ...+[х_п-М(Х)]*р_п.

Заметим, что обе части неравенства \xj—М(Х)|^⁶ (j = k-\-\, k + 2, ..., п) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство|Xj — — М (X) |² ^ е². Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей \x_J—M(X)\ⁱ числом е² (при этом неравенство может лишь усилиться)!

102

_получим

' (**)

j-jo теореме сложения, сумма вероятностей Ра₊₁+Ра₊₂+ ... Л-рп ^есть вероятность того, что X примет одно, без­различно какое, из значений х_к+1, x_h+2, .... х_п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству \Xj-M (X) | > е. Отсюда следует, что сумма p_k+i+Pk+2~f-- • • \..-\-р_п выражает вероятность

Р(\Х —

Это соображение позволяет переписать неравенство (**) так:

D (Х)> е* Р (| Х — М (Х)|> е),

или

l (***)

Подставляя (***) в (*), окончательно получим Л( | Х-М (X) |< е) > 1 —D (Х)/е²,

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики огра­ниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и три­виальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D(X)xe² и, следовательно, D(X)/e²>l, то 1 — D (Х)/е^г < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.