§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

X 1 2 5 100 р 0,6 0,2 0,19 0,01

Найдем математическое ожидание X:

М(Х) = 1-0,6 + 2-0,2 + 5-0,19+ 100-0,01 =2,95. Напишем закон распределения X^й:

X² 1 4 25 10 000 р 0,6 0,2 0,19 0,01

Найдем математическое ожидание X²: М (Х²) = 1-0,6 + 4.0,2 + 25-0,19+ 10 000-0,01 = 106,15.

Видим, что М (X²) значительно больше М (X). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возмож­ное значение величины X², соответствующее значению х=100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значи­тельно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (X) к М (X²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую ве-

98

_ятНость. Разумеется, если бы величина X имела не­сколько больших и маловероятных значений, то переход ^с _веЛичине X², а тем более к величинам X³, X⁴ и т. д., ^озволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, ₀ маловероятных возможных значений. Вот почему казывается целесообразным рассматривать математичес­кое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Х^к:

v_ft = M(X*). В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(X) = M(X*)—[М (X)]² можно записать так:

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонениях—М (X).

Центральным моментом порядка k случайной вели­чины X называют математическое ожидание величины (Х-М(Х))":

В частности,

(**) (***)

Легко выводятся соотношения, связывающие началь­ные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

M-2 = ^V2 — ^v*-

Нетрудно, исходя из определения центрального мо­мента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

₁ ц₄ = v₄ — -IVaVj + 6v₂vf — 3vJ.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

, рр

^скими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые Счисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Опре-^"е эмпирических моментов даны далее (см. гл. XVII, § 2).

99

Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоре- е В

Задачи

1. Известны дисперсии двух независимых случайных вели­чин: £>(Х) —4, D(K) = 3. Найти дисперсию суммы этих величин. Отв. 7.

2. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X—1; б) —2Х; в) ЗХ + 6.

Отв. а) 5; б) 20; в) 45.

3. Случайная величина X принимает только два значения: +С и —С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины-

Отв. С².

4. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре­ деления

X 0,1 2 10 20 р 0,4 0,2 0,15 0,25

Отв. 67,6404.

5. Случайная величина X может принимать два возможных зна­ чения: Хх с вероятностью 0,3 и х₈ с вероятностью 0,7, причем х_г > *v Найти *х и х_а, зная, что М(Х) = 2,7 и D(X)=0,21.

Отв. х_х = 2, х_а = 3.

6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М(Х)=0,8.

Указание. Написать биномиальный закон распределения ве­роятностей числа появлений события А в двух независимых испыта­ниях.

Отв. 0,48.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: pi = 0,3; р_а=0,4; р₈=0,5; р₄ = 0,6. Найти математическое ожидание и дис­ персию числа отказавших приборов.

Отв. 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероят­ ность наступления события равна 0,7.

Отв. 21.

9. Дисперсия случайной величины D(X) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение о (X).

Отв. 2,5.

10. Случайная величина задана законом распределения

X 2 4 8 р 0,1 0,5 0,4

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Отв. 2,2.

11. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Отв. л.

12. Средне» квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв. 2,5.

100

Глава девятая

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ