§ 7. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения кроме дис­персии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной ве­личины X называют квадратный корень из дисперсии:

Л егко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность о(Х) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда жела­тельно, чтобы оценка рассеяния имела размерность слу­чайной величины, вычисляют среднее квадратическое от­клонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то о (X) будет выражаться также в линейных метрах, a D (X) — в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X 2 3 10 р 0,1 0,4 0,5

Найти среднее квадратическое отклонение а (X).

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (*) = 2-0,1 +3-0,4+ 10-0,5 = 6,4. Найдем математическое ожидание X³:

М(Х²) = 2²-0,1+3²-0,4+10²-0,5 = 54. Найдем дисперсию:

D(X) = M(X²) —[M (Х)]² = 54 —6,4²= 13,04. Искомое среднее квадратическое отклонение

а(Х)= }ГЩХ)= 94

§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические откло-_еНИя нескольких взаимно независимых случайных вели­чин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы _этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая _теорема.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Д оказательство. Обозначим через X сумму рас­сматриваемых взаимно независимых величин:

x=x_l+x_a+...+x_a.

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых (см. § 5, следствие 1), поэтому

Отсюда

или окончательно

о (X) = Vo*(X₁) + o4X_t)+...+o'(X_n).

§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые харак­теристики одинаковы.

Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин

■*ii Х_г, ..., Х„, которые имеют одинаковые распределения,

^а следовательно, и одинаковые характеристики (матема-

ическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший ин-

^еРес представляет изучение числовых характеристик

95

среднего арифметического этих величин, чем мы и мемся в настоящем параграфе.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемы*

случайных величин через X:

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметц. ческого X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:

М(Х) = а.

Доказательство. Пользуясь свойствами матема­тического ожидания (постоянный множитель можно вы­нести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем

М{Х) = № f^xi + ^x*+ •■■ +^х"^

_ М (X_t) + М (Х₂) + ■ • ■ + М (Х„) п.

Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим

М (X) = па/п = а.

2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D каждой из величин:

D (X) = D/n. («)

Доказательство. Пользуясь свойствами диспер­сии (постоянный множитель можно вынести за знак дис­персии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы незави­симых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем

D (X) = D

п D(X₁) + D(X₂)+ . ,+D(X_n)

96

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из вели­чин по условию равна D, получим

3. Среднее квадратическое отклонение среднего ариф­метического п одинаково распределенных взаимно незави­симых случайных величин в V п раз меньше среднего квадра-мического отклонения а каждой из величин:

о(Х)=а JV п. (**)

Доказательство. Так как D(X) — D/n, то сред­нее квадратическое отклонение X равно

а (X) = Vd(X) = VWn = VDlVn = оIVп.

Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа вза­имно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Поясним на примере значение этого вывода для прак­тики.

Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифме­тическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения произ­водятся в одних и тех же условиях, доказать:

а) среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения;

б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.

Решение, а) Известно, что отдельные измерения дают неоди­наковые значения измеряемой величины. Результат каждого измере­ния зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью Учтены.

Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты п от­дельных измерений в качестве случайных величин Х_и Х₂, ..., Х_п (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинако-^вое распределение вероятностей (измерения производятся по одной " той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одина­ковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы ^Результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных ^Измерений).

Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет

спе^Шее Р^ассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря,

^{v Днее} арифметическое оказывается более близким к истинному зна-

«■181 97

чению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Это и означает, что среднее арифметическое нескольких измерений Дает более надежный результат, чем отдельное измерение.

б) Нам уже известно, что при возрастании числа отдельных слу. чайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Таким образом, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.

Например, если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения а = 6 м, а всего произведено п = 3б измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м. Действительно,

о (X) = а/ У~п= 6/ У36 = 1.

Мы видим, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более близким к истинному зна­чению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения,