§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их сред­нее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М[Х—М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было доказано в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а Другие—отрицательны; в результате их взаимного пога­шения среднее значение отклонения равно нулю. Эти со­ображения говорят о целесообразности заменить возмож­ные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными ве­личинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют вреднее значение квадрата отклонения, которое и назы­вают дисперсией.

87

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­чины называют математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величиныот ее математического ожидания:

D(X) = M[X—M(X)]\

Пусть случайная величина задана законом распреде­ления

^\ 1 2 * * * П

Р Pi Рг ••• Рп

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон рас­пределения:

Р Pi Рг Рп

По определению дисперсии, D(X) = M[X —

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вычислить сумму произведений возможных зна­чений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискрет­ной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем читатель узнает, что дисперсия непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X 1 2 5

р 0,3 0,5 0,2

Решение. Найдем математическое ожидание: М(Х)=\ •0,3 + 2.0,5 + 5-0,2 = 2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

[х₁ — М(Х)]* = (1— 2,3)2=1,69;

[х₂ — М (Х)]² = (2 — 2,3)² = 0,09;

[х₃-М (Х)Г- = (5-2,3)² = 7,29.

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[X— М(Х)]² 1,69 0,09 7,29 р 0,3 0,5 0,2

По определению,

D(X)=l,69.0,3 + 0,090,5 + 7,29-0,2 = 2,01.

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.

88 ,

§ 4. Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математи-иеским ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

= M (X²) — [М (X)]².

Доказательство. Математическое ожидание М (X) есть постоянная величина, следовательно, 2М (X) и М^г (X) _есть также постоянные величины. Приняв это во внима­ние и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак матема­тического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упро­стим формулу, выражающую определение дисперсии:

D (X) = М [X — М (X)]² = М [X² —2ХМ (X) + М²

= М (X²)—2М (X) М (X) + Л1² (X) = = М(Х²)—2М²(Х) + Л1²(Х) = Л*(Х²)—МЦХ).

Итак,

Квадратная скобка введена в запись формулы для удоб­ства ее запоминания.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X 2 3 5 р 0,1 0,6 0,3

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

М(Х) = 2-0,1 +3-0,6 + 5.0,3 = 3,5. Напишем закон распределения случайной величины X²:

X² 4 9 25

р 0,1 0,6 0,3

Найдем математические ожидания М (Х^г):

М(Х*) = 4-0,1 +9-0,6 + 25-0,3= 13,3. Искомая дисперсия

= M (Х²)-[М (Х)]²= 13,3 —(3,5)2=1,05.

Замечание. Казалось бы, если X и К имеют одинаковые воз­можные значения и одно и то же математическое ожидание, то и Дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих ве-

89

личин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!) Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые воз­можные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря различные вероятности, а величина дисперсии опредзляется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений X больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероят-ности «близких» значений X меньше, чем вероятности тех же значе­ний Y, то, очевидно, дисперсия X больше дисперсии Y.

Приведем иллюстрирующий пример.

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

X —1 12 3 К —1 1 2 3

р 0,48 0,01 0,09 0,42 р 0,19 0,51 0,25 0,05

Решение. Легко убедиться, что

M(X) = M(Y) = 0,97; D(X)=*3,69, D (Y) a- 1,21.

Таким образом, возможные значения и математические'ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем D (X) > D(Y). Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.