§ 5. Математическое ожидание числа появлг I события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появле­ний события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа по­явлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М{Х) = пр.

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появ­лений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэ­тому если Х_х — число появлений события в первом испы­тании, Х₂ — во втором, ..., Х„ — в л-м, то общее число появлений события X = X_t + Х₂ + ... + Х„.

По третьему свойству математического ожидания,

М(Х) = М(Х₁) + М(Х_ш)+...+М{Х_я). (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть

^тематическое ожидание числа появлений события

°Дном испытании: М (Х_х) — в первом, М (Х₂) — во вто-

83

ром и т. д. Так как математическое ожидание числа появ­лений события в одном испытании равно вероятности события (см. § 2, пример 2), ToAf (X₁) = M (Х₂) = М (Х„) = р. Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим

М (X) = пр. (**)

Замечание. Так как величина X распределена по биноми­альному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с па­раметрами пир равно произведению пр.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р«=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от ис­ходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события незави­симы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М (Х)=пр = 10-0,6 = 6 (попаданий).

Задачи

I. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

X 6 3 1 р 0,2 0,3 0,5 Отв. 2,6.

2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель Pl = 0,6, р₂ = 0,4, Рз = 0.5 и р₄ = 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Отв. 2,2 попадания.

3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X 1 2 К 0,5 1

р 0,2 0,8 р 0,3 0,7

Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами: а) составив закон распределения XV; б) пользуясь свойством 3. Отв. 1,53.

4. Дискретные случайные величины X и У заданы законами распределения, указанными в задаче 3. Найти математическое ожи­ дание суммы X-\-Y двумя способами: а) составив закон распределения X-\-Y; б) пользуясь свойством 4.

Отв. 2,65.

б. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Отв. 2 детали.

6. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Отв. 12,25 очка.

84

7. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Отв. 6 билетов.

Глава восьмая

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ