§ 7. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0 < р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления q—\—р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если собы­тие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k—1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значе­ниями X являются натуральные числа: х₁=\, х_г = 2, ...

Пусть в первых k — 1 испытаниях событие А не насту­пило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая k—l, 2, ... в формуле (*), получим геометри­ческую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<l):

Р, ЯР, q*P q^k~^lP, ••• (**)

По этой причине распределение (*) называют геометри­ческим.

72

Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (**)

(l l

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р = 0,6, 9 = 0,4, k = 3. Искомая вероят­ность по формуле (*)

Р = (?*-1.р = 0,4^а. 0,6 = 0,096.

§ 8. Ги пер геометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометричес­кого распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из пар­тии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не воз­вращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через X случайную вели­чину—число т стандартных изделий среди п отобран­ных. Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2, ..., min (М, п).

Найдем вероятность того, что X = т, т. е. что среди п отобранных изделий ровно т стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испы-/ тания равно числу способов, которыми можно извлечь лГ изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний С%. I

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х = т (среди взятых п изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из М стандарт­ных изделий С% способами; при этом остальные п — т изделий должны быть нестандартными; взять же п—т нестандартных изделий из N—т нестандартных изделий можно С^Щм способами. Следовательно, число благоприят­ствующих исходов равно СмС^м (см. гл. I, § 4, правило умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исхо­дов, благоприятствующих событию X — т, к числу всех элементарных исходов

73

Формула (*) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что т—случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, п. Иногда в качестве пара­метров этого распределения рассматривают N,n и p=M/N, где р—вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если п значительно меньше N (практи­чески если я < 0,1 Л/), то гипергеометрическое распреде­ление дает вероятности, близкие к вероятностям, найден­ным по биномиальному закону.

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию, N — 50, М = 20, я = 5, т — 3. Иско­мая вероятность

р (X = 3) = CfoCfo/Cfo = 0,234.

Задачи

1. Возможные значения случайной величины таковы: *i=2, x_t = 5, х_а — 8. Известны вероятности первых двух возможных зна­чений: pi = 0,4, р~ = 0,15. Найти вероятность х₃. Отв. р₃ = 0,45.

2. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распреде­ ления числа появлений шестерки.

Отв. X 3 2 1 0

р 1/216 15/216 75/216 125/216

3. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появ­ ления события в каждом испытании равна 0,6.

Отв. k 0 1 2 3

р 0,064 0,288 0,432 0,216

4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероят­ ность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах.

Отв. Я₁₀₀₀ (5) = 0,1562.

б. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распре­делено по закону Пуассона.

Указание. Задача сводится к отысканию параметра К из уравнения е~^ = 0,05.

Отв. 3.

6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероят­ность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

Отв. Яюо(3) = 0,18; Р₁₀₀ (4) =0,09.

74

7. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содер­ жит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая _сТраница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; р) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток рас­ пределено по закону Пуассона.

Отв. а) Р=\— е-^0,6321; б) Р_1ооо (2) = 0,18395; в) Р = 0,2642.

8. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно 5. Цайти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Указание, е-¹⁰ = 0,000045.

Отв. а) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505.

9. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение «шес­ терки» произойдет при втором бросании игральной кости.

Отв. Р(Х = 2) = 5/36. \

10. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероят­ ность того, что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стан­ дартных.

Отв. Я(Х = 3)=14/33.

Глава седьмая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ